Seja (K, +, cdot ) um corpo. Mostre que:
Dado x in K, se x1 e x2 são elementos de K satisfazendo:
x+x1=0 e x+x2=0,
então x1=x2. Em outras palavras, num corpo cada elemento x possui um único oposto, denotado por -x.

Passo 1

O enunciado diz que em um corpo K temos um elemento x e dois candidatos a seu oposto aditivo, x1 e x2, tais que
x + x1 = 0
e
x + x2 = 0
O conteúdo aqui é a unicidade do inverso em um grupo abeliano (o corpo sob +), e vamos precisar usar a existência do elemento neutro, a associatividade e a comutatividade da soma.

Passo 2

Para mostrar que x1 = x2, começamos lembrando que todo elemento a de K satisfaz
a + 0 = a
Em particular,
x1 = x1 + 0
Como 0 = x + x2, podemos substituir na expressão acima:

Passo 3

Usando a substituição e a propriedade da associatividade da soma, temos
x1 = x1 + (x + x2) = (x1 + x) + x2
Como a soma em K é comutativa, podemos trocar x1 + x por x + x1:

Passo 4

Mas x + x1 = 0 pelo enunciado, então
x1 = (x + x1) + x2 = 0 + x2
E como 0 é o elemento neutro,
0 + x2 = x2,
o que mostra que x1 = x2.

Resposta

x_{1} = x_{2}

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