Seja (K, +,
) um corpo. Mostre que:
Dado
, se
e
são elementos de
satisfazendo:
então
. Em outras palavras, num corpo cada elemento
possui um único oposto, denotado por
.
Dado
Passo 1
O enunciado diz que em um corpo
temos um elemento
e dois candidatos a seu oposto aditivo,
e
, tais que
e
O conteúdo aqui é a unicidade do inverso em um grupo abeliano (o corpo sob +), e vamos precisar usar a existência do elemento neutro, a associatividade e a comutatividade da soma.
Passo 2
Para mostrar que
, começamos lembrando que todo elemento
de
satisfaz
Em particular,
Como
, podemos substituir na expressão acima:
Passo 3
Usando a substituição e a propriedade da associatividade da soma, temos
Como a soma em
é comutativa, podemos trocar
por
:
Passo 4
Mas
pelo enunciado, então
E como
é o elemento neutro,
o que mostra que
.
Resposta
x_{1} = x_{2}