Questão extra

Sejam a, b e c in R. Provar, sem calcular, que o determinante da matriz seguinte é nulo
(rrr 1 & 1 & 1 a & b & c b+c & a+c & a+b )

Passo 1

O enunciado pede para provar que o determinante da matriz
1 & 1 & 1 a & b & c b+c & a+c & a+b
é nulo, ou seja, precisamos mostrar que as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes. Esse resultado usa o fato de que se uma matriz tem linhas (ou colunas) dependentes, então seu determinante é zero.

Passo 2

Lembrando da teoria de determinantes: se existe uma combinação linear não trivial entre as linhas de uma matriz que dá o vetor zero, então as linhas são dependentes e o determinante vale zero.

Passo 3

Observe que somando a segunda e a terceira linha obtemos um múltiplo da primeira linha. De fato, seja
L1=(1,1,1), L2=(a,b,c), L3=(b+c,,a+c,,a+b)
Então
L2+L3=(a+(b+c),,b+(a+c),,c+(a+b))=(a+b+c,,a+b+c,,a+b+c)=(a+b+c),L1
Como existe a relação
L2 + L3 -(a+b+c),L1=(0,0,0),
istamos provando que as três linhas são linearmente dependentes.

Passo 4

Pela propriedade de determinante que diz que matriz com linhas linearmente dependentes tem determinante zero, concluímos o resultado.

Resposta

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