Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar
e
escalares,
vetores
T,
tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
Para estes exercícios, considerar
Mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está na área de Álgebra Tensorial e pede para a gente mostrar que o rotacional do gradiente de um escalar é igual a zero, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o gradiente e o rotacional, e como eles se relacionam quando aplicados a funções escalares e vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de um escalar. O gradiente, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior variação da função escalar
, e sua magnitude representa a taxa dessa variação. Em coordenadas cartesianas, se
, então:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o rotacional de um vetor, denotado por
para um campo vetorial
. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “rotacionar” em torno de um ponto. Em coordenadas cartesianas:
Passo 4
Nosso objetivo é calcular
. Vamos substituir
por
na fórmula do rotacional:
Passo 5
Observe que cada componente do rotacional envolve a diferença de derivadas parciais mistas. De acordo com o teorema de Schwarz (ou teorema da igualdade das derivadas parciais de segunda ordem), se
é suficientemente suave (tem derivadas contínuas), então:
Passo 6
Aplicando isso na expressão do rotacional:
Resposta
Portanto, mostramos que: