Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
nabla times(nabla s)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está na área de Álgebra Tensorial e pede para a gente mostrar que o rotacional do gradiente de um escalar é igual a zero, ou seja, nabla times (nabla s) = 0. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o gradiente e o rotacional, e como eles se relacionam quando aplicados a funções escalares e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de um escalar. O gradiente, denotado por nabla s, é um vetor que aponta na direção de maior variação da função escalar s, e sua magnitude representa a taxa dessa variação. Em coordenadas cartesianas, se s = s(x, y, z), então:
nabla s = ( partial spartial x, partial spartial y, partial spartial z )

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o rotacional de um vetor, denotado por nabla times A para um campo vetorial A. O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “rotacionar” em torno de um ponto. Em coordenadas cartesianas:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z, partial Axpartial z - partial Azpartial x, partial Aypartial x - partial Axpartial y )

Passo 4

Nosso objetivo é calcular nabla times (nabla s). Vamos substituir A por nabla s na fórmula do rotacional:
nabla times (nabla s) = ( partialpartial y( partial spartial z ) - partialpartial z( partial spartial y ), partialpartial z( partial spartial x ) - partialpartial x( partial spartial z ), partialpartial x( partial spartial y ) - partialpartial y( partial spartial x ) )

Passo 5

Observe que cada componente do rotacional envolve a diferença de derivadas parciais mistas. De acordo com o teorema de Schwarz (ou teorema da igualdade das derivadas parciais de segunda ordem), se s é suficientemente suave (tem derivadas contínuas), então:
partial^2 spartial y partial z = partial^2 spartial z partial y
partial^2 spartial z partial x = partial^2 spartial x partial z
partial^2 spartial x partial y = partial^2 spartial y partial x

Passo 6

Aplicando isso na expressão do rotacional:
nabla times (nabla s) = ( partial^2 spartial y partial z - partial^2 spartial z partial y, partial^2 spartial z partial x - partial^2 spartial x partial z, partial^2 spartial x partial y - partial^2 spartial y partial x ) = ( 0, 0, 0 )

Resposta

Portanto, mostramos que:
nabla times (nabla s) = 0

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