Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
T: u v=(T cdot u) cdot v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que T: u v = (T cdot u) cdot v. Isso está no contexto da Álgebra Tensorial, especificamente lidando com tensores de segunda ordem e vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a operação de contracção (representada pelos dois pontos “:”) e a multiplicação de tensor por vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a contracção entre um tensor T e o produto externo de dois vetores u e v. A contracção T: u v é basicamente a soma dos produtos das componentes correspondentes. Matemáticamente, se T tem componentes Tij e u e v têm componentes ui e vj, então:
T: u v = sumi,j Tij ui vj

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado direito da igualdade: (T cdot u) cdot v. Primeiro, calculamos T cdot u. Essa operação resulta em um vetor cujas componentes são:
(T cdot u)j = sumi Tij ui
Em seguida, multiplicamos esse vetor resultante pelo vetor v:
(T cdot u) cdot v = sumj (T cdot u)j vj = sumi,j Tij ui vj

Passo 4

Comparando as duas expressões que obtivemos:
T: u v = sumi,j Tij ui vj
e
(T cdot u) cdot v = sumi,j Tij ui vj
Vemos que elas são iguais. Portanto, a igualdade proposta está comprovada.

Resposta

Assim, mostramos que T: u v = (T cdot u) cdot v, conforme solicitado.

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