Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar
e
escalares,
vetores
T,
tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
Para estes exercícios, considerar
Mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que
. Isso está no contexto da Álgebra Tensorial, especificamente lidando com tensores de segunda ordem e vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a operação de contracção (representada pelos dois pontos “:”) e a multiplicação de tensor por vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a contracção entre um tensor
e o produto externo de dois vetores
e
. A contracção
é basicamente a soma dos produtos das componentes correspondentes. Matemáticamente, se
tem componentes
e
e
têm componentes
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado direito da igualdade:
. Primeiro, calculamos
. Essa operação resulta em um vetor cujas componentes são:
Em seguida, multiplicamos esse vetor resultante pelo vetor
:
Passo 4
Comparando as duas expressões que obtivemos:
e
Vemos que elas são iguais. Portanto, a igualdade proposta está comprovada.
Resposta
Assim, mostramos que
, conforme solicitado.