Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
nabla cdot u v=u cdot nabla v+v nabla cdot u

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a divergência do produto de dois vetores u e v é igual a u vezes a divergência de v mais v vezes a divergência de u. Estamos lidando com Algebra Tensorial, então vamos usar conceitos de cálculo vetorial e tensores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a divergência de um tensor de segunda ordem. Se temos um tensor formado pelo produto de dois vetores, ou seja, u v, a divergência desse tensor é um vetor cujas componentes são as divergências das colunas do tensor.

Passo 3

Vamos escrever o tensor u v. Se u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), então:
u v = u1 v1 & u1 v2 & u1 v3 u2 v1 & u2 v2 & u2 v3 u3 v1 & u3 v2 & u3 v3

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência desse tensor. A divergência é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de cada coluna em relação às suas coordenadas correspondentes. Ou seja:
nabla cdot (u v) = ( partial (u1 v1)partial x, partial (u2 v2)partial y, partial (u3 v3)partial z )

Passo 5

Vamos aplicar a regra do produto para cada derivada parcial:
partial (ui vi)partial xi = ui partial vipartial xi + vi partial uipartial xi
onde i = 1, 2, 3.

Passo 6

Somando todas as componentes, temos:
nabla cdot (u v) = u1 partial v1partial x + u2 partial v2partial y + u3 partial v3partial z + v1 partial u1partial x + v2 partial u2partial y + v3 partial u3partial z

Passo 7

Observamos que a primeira parte da soma é exatamente u cdot nabla v e a segunda parte é v cdot nabla u:
nabla cdot (u v) = u cdot nabla v + v cdot nabla u

Resposta

Portanto, mostramos que:
nabla cdot (u v) = u cdot nabla v + v cdot nabla u

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