Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar e escalares, vetores T, tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a divergência do produto de dois vetores e é igual a vezes a divergência de mais vezes a divergência de . Estamos lidando com Algebra Tensorial, então vamos usar conceitos de cálculo vetorial e tensores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a divergência de um tensor de segunda ordem. Se temos um tensor formado pelo produto de dois vetores, ou seja, , a divergência desse tensor é um vetor cujas componentes são as divergências das colunas do tensor.
Passo 3
Vamos escrever o tensor . Se e , então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a divergência desse tensor. A divergência é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de cada coluna em relação às suas coordenadas correspondentes. Ou seja:
nabla cdot (u v) = ( partial (u1 v1)partial x, partial (u2 v2)partial y, partial (u3 v3)partial z )
Passo 5
Vamos aplicar a regra do produto para cada derivada parcial:
partial (ui vi)partial xi = ui partial vipartial xi + vi partial uipartial xi
onde i = 1, 2, 3.
Passo 6
Somando todas as componentes, temos:
nabla cdot (u v) = u1 partial v1partial x + u2 partial v2partial y + u3 partial v3partial z + v1 partial u1partial x + v2 partial u2partial y + v3 partial u3partial z
Passo 7
Observamos que a primeira parte da soma é exatamente u cdot nabla v e a segunda parte é v cdot nabla u:
nabla cdot (u v) = u cdot nabla v + v cdot nabla u
Resposta
Portanto, mostramos que:
nabla cdot (u v) = u cdot nabla v + v cdot nabla u