Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
u v: T=u cdot(v cdot T)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que u v: T = u cdot (v cdot T). Aqui estamos trabalhando com Álgebra Tensorial, especificamente com tensores de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar as operações de produto tensorial e contração. Precisamos entender como multiplicar vetores e tensores e como realizar a contração dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o produto tensorial u v. Esse produto resulta em um tensor de segunda ordem, onde cada componente é dado por ui vj. Ou seja, se u e v são vetores, então:
(u v)ij = ui vj

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa a contração dupla u v: T. A contração dupla entre dois tensores de segunda ordem é a soma sobre os índices correspondentes. Assim, temos:
u v: T = sumi,j ui vj Tij

Passo 4

Por outro lado, vamos analisar a expressão u cdot (v cdot T). Primeiro, calculamos v cdot T, que é um produto entre um vetor e um tensor, resultando em um vetor:
(v cdot T)i = sumj vj Tji

Passo 5

Em seguida, fazemos o produto escalar desse resultado com o vetor u:
u cdot (v cdot T) = sumi ui (v cdot T)i = sumi ui ( sumj vj Tji ) = sumi,j ui vj Tji

Passo 6

Observando as duas expressões que obtivemos:
u v: T = sumi,j ui vj Tij
e
u cdot (v cdot T) = sumi,j ui vj Tji
Se T for um tensor simétrico, isto é, Tij = Tji, então as duas expressões são iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que u v: T = u cdot (v cdot T), desde que o tensor T seja simétrico.

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