Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar
e
escalares,
vetores
T,
tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
Para estes exercícios, considerar
Mostrar que:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que
. Aqui estamos trabalhando com Álgebra Tensorial, especificamente com tensores de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar as operações de produto tensorial e contração. Precisamos entender como multiplicar vetores e tensores e como realizar a contração dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o produto tensorial
. Esse produto resulta em um tensor de segunda ordem, onde cada componente é dado por
. Ou seja, se
e
são vetores, então:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa a contração dupla
. A contração dupla entre dois tensores de segunda ordem é a soma sobre os índices correspondentes. Assim, temos:
Passo 4
Por outro lado, vamos analisar a expressão
. Primeiro, calculamos
, que é um produto entre um vetor e um tensor, resultando em um vetor:
Passo 5
Em seguida, fazemos o produto escalar desse resultado com o vetor
:
Passo 6
Observando as duas expressões que obtivemos:
e
Se
for um tensor simétrico, isto é,
, então as duas expressões são iguais.
Resposta
Portanto, mostramos que
, desde que o tensor
seja simétrico.