Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
(d) nabla cdot(s v)=v cdot nabla s+s(nabla cdot v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Tensorial. A gente precisa mostrar que a divergência de $ s \mathbf{v} $ é igual a $ \mathbf{v} \cdot \nabla s + s (\nabla \cdot \mathbf{v}) $. Para isso, vamos usar as regras de derivação de produtos envolvendo vetores e escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um vetor $ \mathbf{A} $, denotada por $ \nabla \cdot \mathbf{A} $, é uma operação que mede o quanto o campo $ \mathbf{A} $ está “saindo” de um ponto. Em coordenadas cartesianas, se $ \mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z) $, então:
A

Passo 3

Agora, vamos aplicar a divergência ao produto $ s \mathbf{v} $. Aqui, $ s $ é um escalar e $ \mathbf{v} $ é um vetor. Usando a regra do produto para a divergência, temos:
s v
Essa regra basicamente diz que quando você tem um escalar multiplicando um vetor, a divergência desse produto é a derivada do escalar na direção do vetor mais o escalar vezes a divergência do vetor.

Passo 4

Vamos detalhar isso. A derivada de $ s $ na direção de $ \mathbf{v} $ é representada por $ \mathbf{v} \cdot \nabla s $. Isso significa que estamos calculando como $ s $ muda na direção de $ \mathbf{v} $. Já $ \nabla \cdot \mathbf{v} $ é a divergência do vetor $ \mathbf{v} $, que medimos quanto $ \mathbf{v} $ está “saindo” de um ponto.

Passo 5

Então, juntando tudo, mostramos que:
nabla cdot (s v) = v cdot nabla s + s (nabla cdot v)
Isso confirma a identidade que queríamos provar.

Resposta

Portanto, mostramos que:
nabla cdot (s v) = v cdot nabla s + s (nabla cdot v)

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