Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
s I: nabla v=s(nabla cdot v) onde I é o tensor identidade dado por I=de (delta de Kröenecher).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que $ s \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} = s(\nabla \cdot \mathbf{v}) $. Aqui, $ \mathbf{I} $ é o tensor identidade, $ s $ é um escalar, e $ \nabla \mathbf{v} $ é o gradiente do vetor $ \mathbf{v} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a contração dupla de tensores e como calcular a divergência de um vetor. Vamos dividir isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor identidade $ \mathbf{I} $. Ele é representado pelos elementos $ \delta_{ij} $, que são iguais a 1 quando $ i = j $ e 0 caso contrário. Isso significa que $ \mathbf{I} $ basicamente “não muda” nenhum vetor quando é usado em operações de tensor.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a operação de contração dupla, representada por “:”. Quando temos dois tensores $ \mathbf{A} $ e $ \mathbf{B} $, a contração dupla $ \mathbf{A} : \mathbf{B} $ significa que multiplicamos seus componentes correspondentes e somamos sobre dois índices. Matemáticamente, fica assim:
A

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso caso específico. Temos $ \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} $. O tensor $ \nabla \mathbf{v} $ é o gradiente do vetor $ \mathbf{v} $, cujos componentes são $ (\nabla \mathbf{v})_{ij} = \frac{\partial v_j}{\partial x_i} $.

Passo 5

Então, substituindo na contração dupla:
I : nabla v = sumi,j de
Lembra que $ \delta_{ij} $ é 1 quando $ i = j $ e 0 caso contrário. Então, a soma sobra somente quando $ i = j $.

Passo 6

Isso simplifica a expressão para:
I : nabla v = sumi partial vipartial xi
E essa soma é exatamente a definição da divergência de $ \mathbf{v} $:
v

Passo 7

Agora, voltando à expressão original, temos:
s I : nabla v = s(nabla cdot v)
Ou seja, multiplicamos ambos os lados por $ s $, que é um escalar constante.

Resposta

Portanto, mostramos que $ s \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} = s(\nabla \cdot \mathbf{v}) $.

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