Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar
e
escalares,
vetores
T,
tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
onde
é o tensor identidade dado por
(delta de Kröenecher).
Para estes exercícios, considerar
Mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que $ s \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} = s(\nabla \cdot \mathbf{v}) $. Aqui, $ \mathbf{I} $ é o tensor identidade, $ s $ é um escalar, e $ \nabla \mathbf{v} $ é o gradiente do vetor $ \mathbf{v} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a contração dupla de tensores e como calcular a divergência de um vetor. Vamos dividir isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor identidade $ \mathbf{I} $. Ele é representado pelos elementos $ \delta_{ij} $, que são iguais a 1 quando $ i = j $ e 0 caso contrário. Isso significa que $ \mathbf{I} $ basicamente “não muda” nenhum vetor quando é usado em operações de tensor.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a operação de contração dupla, representada por “:”. Quando temos dois tensores $ \mathbf{A} $ e $ \mathbf{B} $, a contração dupla $ \mathbf{A} : \mathbf{B} $ significa que multiplicamos seus componentes correspondentes e somamos sobre dois índices. Matemáticamente, fica assim:
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso caso específico. Temos $ \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} $. O tensor $ \nabla \mathbf{v} $ é o gradiente do vetor $ \mathbf{v} $, cujos componentes são $ (\nabla \mathbf{v})_{ij} = \frac{\partial v_j}{\partial x_i} $.
Passo 5
Então, substituindo na contração dupla:
Lembra que $ \delta_{ij} $ é 1 quando $ i = j $ e 0 caso contrário. Então, a soma sobra somente quando $ i = j $.
Passo 6
Isso simplifica a expressão para:
E essa soma é exatamente a definição da divergência de $ \mathbf{v} $:
Passo 7
Agora, voltando à expressão original, temos:
Ou seja, multiplicamos ambos os lados por $ s $, que é um escalar constante.
Resposta
Portanto, mostramos que $ s \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} = s(\nabla \cdot \mathbf{v}) $.