Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
nabla cdot(nabla times v)=0

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o divergente do rotacional de um vetor v é igual a zero, ou seja:
nabla cdot (nabla times v) = 0
Esse problema está dentro do conteúdo de Álgebra Tensorial, mais especificamente envolvendo operações vetoriais como divergente ( nabla cdot) e rotacional ( nabla times). Para resolver, vamos precisar entender o que cada uma dessas operações faz e como elas interagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um vetor. O rotacional de um vetor v = (vx, vy, vz) é dado por:
nabla times v = ( partial vzpartial y - partial vypartial z, partial vxpartial z - partial vzpartial x, partial vypartial x - partial vxpartial y )
Isso basicamente mede a tendência de rotação do campo vetorial ao redor de um ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o divergente a esse rotacional. O divergente de um vetor A = (Ax, Ay, Az) é:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
Então, aplicando isso ao rotacional de v, temos:
nabla cdot (nabla times v) = partialpartial x( partial vzpartial y - partial vypartial z ) + partialpartial y( partial vxpartial z - partial vzpartial x ) + partialpartial z( partial vypartial x - partial vxpartial y )

Passo 4

Vamos expandir essas derivadas parciais:
= partial^2 vzpartial x partial y - partial^2 vypartial x partial z + partial^2 vxpartial y partial z - partial^2 vzpartial y partial x + partial^2 vypartial z partial x - partial^2 vxpartial z partial y

Passo 5

Observamos que cada termo tem uma derivada mista que aparece duas vezes com sinais opostos:
  • partial^2 vzpartial x partial y e -partial^2 vzpartial y partial x
  • -partial^2 vypartial x partial z e partial^2 vypartial z partial x
  • partial^2 vxpartial y partial z e -partial^2 vxpartial z partial y

Passo 6

Pelas propriedades das derivadas parciais, a ordem das derivadas não afeta o resultado, ou seja:
partial^2 vzpartial x partial y = partial^2 vzpartial y partial x
E o mesmo vale para os outros termos. Assim, todos os pares de termos se cancelam:
partial^2 vzpartial x partial y - partial^2 vzpartial y partial x = 0
E assim por diante para os outros termos.

Resposta

Portanto, mostramos que:
nabla cdot (nabla times v) = 0

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