Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar
e
escalares,
vetores
T,
tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
Para estes exercícios, considerar
Mostrar que:
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o divergente do rotacional de um vetor
é igual a zero, ou seja:
Esse problema está dentro do conteúdo de Álgebra Tensorial, mais especificamente envolvendo operações vetoriais como divergente (
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um vetor. O rotacional de um vetor
é dado por:
Isso basicamente mede a tendência de rotação do campo vetorial ao redor de um ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o divergente a esse rotacional. O divergente de um vetor
é:
Então, aplicando isso ao rotacional de
Passo 4
Vamos expandir essas derivadas parciais:
Passo 5
Observamos que cada termo tem uma derivada mista que aparece duas vezes com sinais opostos:
-
e -
e -
e
Passo 6
Pelas propriedades das derivadas parciais, a ordem das derivadas não afeta o resultado, ou seja:
E o mesmo vale para os outros termos. Assim, todos os pares de termos se cancelam:
E assim por diante para os outros termos.
Resposta
Portanto, mostramos que: