Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
nabla cdot(T cdot v)=T: nabla v+v cdot(nabla cdot T) se T for um tensor simétrico (Ti j=Tj i).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Tensorial juntos! O enunciado pede para mostrar que, se T for um tensor simétrico, então:
nabla cdot (T cdot v) = T : nabla v + v cdot (nabla cdot T)
Matéria envolvida: Álgebra Tensorial, especialmente operações com tensores como divergência e produto tensorial.
O que vamos precisar: Conhecer as definições de divergência de um tensor, produto tensorial, e a propriedade de tensor simétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo significa. A expressão nabla cdot (T cdot v) representa a divergência do produto do tensor T com o vetor v.
Divergência de um tensor: Para um tensor de segunda ordem A, a divergência é um vetor cujas componentes são dadas por:
(nabla cdot A)i = sumj partial Aijpartial xj

Passo 3

Vamos expandir a expressão nabla cdot (T cdot v). Primeiro, calculamos o produto T cdot v. As componentes desse produto são:
(T cdot v)i = sumj Tij vj
Agora, aplicamos a divergência a esse resultado:
nabla cdot (T cdot v) = sumi partialpartial xi ( sumj Tij vj )

Passo 4

Vamos reescrever essa soma trocando as ordens:
nabla cdot (T cdot v) = sumi,j partial Tijpartial xi vj + sumi,j Tij partial vjpartial xi
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas: partialpartial xi(Tij vj) = partial Tijpartial xi vj + Tij partial vjpartial xi.

Passo 5

Agora, vamos interpretar cada termo da soma:
  1. sumi,j partial Tijpartial xi vj é o produto do vetor nabla cdot T com o vetor v: v cdot (nabla cdot T).
  2. sumi,j Tij partial vjpartial xi é o produto duplo entre o tensor T e o tensor nabla v: T : nabla v.
Nota sobre tensor simétrico: Como T é simétrico ( Tij = Tji), podemos simplificar a expressão do produto duplo.

Passo 6

Juntando os dois termos, temos:
nabla cdot (T cdot v) = T : nabla v + v cdot (nabla cdot T)
Isso completa a demonstração, mostrando que a divergência do produto tensorial T cdot v se decompõe nesses dois termos quando T é simétrico.

Resposta

Portanto, mostramos que:
nabla cdot (T cdot v) = T : nabla v + v cdot (nabla cdot T)
quando T é um tensor simétrico.

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