Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar
e
escalares,
vetores
T,
tensores de segunda ordem.
Mostrar que:
se
for um tensor simétrico
.
Para estes exercícios, considerar
Mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Tensorial juntos! O enunciado pede para mostrar que, se
for um tensor simétrico, então:
Matéria envolvida: Álgebra Tensorial, especialmente operações com tensores como divergência e produto tensorial.
O que vamos precisar: Conhecer as definições de divergência de um tensor, produto tensorial, e a propriedade de tensor simétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo significa. A expressão
representa a divergência do produto do tensor
com o vetor
.
Divergência de um tensor: Para um tensor de segunda ordem
, a divergência é um vetor cujas componentes são dadas por:
Passo 3
Vamos expandir a expressão
. Primeiro, calculamos o produto
. As componentes desse produto são:
Agora, aplicamos a divergência a esse resultado:
Passo 4
Vamos reescrever essa soma trocando as ordens:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas:
.
Passo 5
Agora, vamos interpretar cada termo da soma:
-
é o produto do vetor com o vetor : . -
é o produto duplo entre o tensor e o tensor : .
Nota sobre tensor simétrico: Como
é simétrico (
), podemos simplificar a expressão do produto duplo.
Passo 6
Juntando os dois termos, temos:
Isso completa a demonstração, mostrando que a divergência do produto tensorial
se decompõe nesses dois termos quando
é simétrico.
Resposta
Portanto, mostramos que:
quando
é um tensor simétrico.