Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar e escalares, vetores T, tensores de segunda ordem.
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a expressão usando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Estamos lidando com vetores e tensores de segunda ordem aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto escalar entre um vetor e o gradiente de outro vetor, além de utilizar as coordenadas cartesianas para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa . O símbolo representa o operador nabla, que, quando aplicado a um vetor , resulta no gradiente de . Esse gradiente é um tenso de segunda ordem, que basicamente contém todas as derivadas parciais das componentes de em relação às coordenadas espaciais.
Passo 3
Agora, a expressão significa que estamos fazendo o produto escalar entre o vetor e o gradiente de . Em coordenadas cartesianas, isso se traduz em multiplicar cada componente de pelas respectivas derivadas parciais de .
Passo 4
Vamos detalhar isso em coordenadas cartesianas. Suponha que tenha componentes . Então, o gradiente de é uma matriz (tenso de segunda ordem) dada por:
Passo 5
O produto v cdot nabla v é então uma multiplicação do vetor v pela matriz nabla v. Isso resulta em um novo vetor cujas componentes são:
v cdot nabla v = vx partial vxpartial x + vy partial vxpartial y + vz partial vxpartial z vx partial vypartial x + vy partial vypartial y + vz partial vypartial z vx partial vzpartial x + vy partial vzpartial y + vz partial vzpartial z
Passo 6
Cada uma dessas componentes representa a mudança do vetor v na direção de si mesmo. Esse termo aparece muito em equações de fluidos, por exemplo, representando a advecção ou transportação do fluxo.
Resposta
Então, o resultado da operação v cdot nabla v em coordenadas cartesianas é o vetor:
v cdot nabla v = vx partial vxpartial x + vy partial vxpartial y + vz partial vxpartial z vx partial vypartial x + vy partial vypartial y + vz partial vypartial z vx partial vzpartial x + vy partial vzpartial y + vz partial vzpartial z