Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
v cdot nabla v;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a expressão v cdot nabla v usando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Estamos lidando com vetores e tensores de segunda ordem aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto escalar entre um vetor e o gradiente de outro vetor, além de utilizar as coordenadas cartesianas para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa nabla v. O símbolo nabla representa o operador nabla, que, quando aplicado a um vetor v, resulta no gradiente de v. Esse gradiente é um tenso de segunda ordem, que basicamente contém todas as derivadas parciais das componentes de v em relação às coordenadas espaciais.

Passo 3

Agora, a expressão v cdot nabla v significa que estamos fazendo o produto escalar entre o vetor v e o gradiente de v. Em coordenadas cartesianas, isso se traduz em multiplicar cada componente de v pelas respectivas derivadas parciais de v.

Passo 4

Vamos detalhar isso em coordenadas cartesianas. Suponha que v tenha componentes (vx, vy, vz). Então, o gradiente de v é uma matriz (tenso de segunda ordem) dada por:
nabla v = partial vxpartial x & partial vxpartial y & partial vxpartial z partial vypartial x & partial vypartial y & partial vypartial z partial vzpartial x & partial vzpartial y & partial vzpartial z

Passo 5

O produto v cdot nabla v é então uma multiplicação do vetor v pela matriz nabla v. Isso resulta em um novo vetor cujas componentes são:
v cdot nabla v = vx partial vxpartial x + vy partial vxpartial y + vz partial vxpartial z vx partial vypartial x + vy partial vypartial y + vz partial vypartial z vx partial vzpartial x + vy partial vzpartial y + vz partial vzpartial z

Passo 6

Cada uma dessas componentes representa a mudança do vetor v na direção de si mesmo. Esse termo aparece muito em equações de fluidos, por exemplo, representando a advecção ou transportação do fluxo.

Resposta

Então, o resultado da operação v cdot nabla v em coordenadas cartesianas é o vetor:
v cdot nabla v = vx partial vxpartial x + vy partial vxpartial y + vz partial vxpartial z vx partial vypartial x + vy partial vypartial y + vz partial vypartial z vx partial vzpartial x + vy partial vzpartial y + vz partial vzpartial z

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