Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
nabla times v;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a operação de rotacional de um vetor v, ou seja, nabla times v, usando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial e álgebra tensorial. Para resolver, vamos precisar entender como representar operadores diferenciais e vetores em forma de tensores, além de usar as propriedades básicas de álgebra tensorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um vetor v, denotado por nabla times v, mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Em coordenadas cartesianas, isso pode ser expresso usando o símbolo de Levi-Civita, que é uma ferramenta útil para operações envolvendo determinantes e produtos vetoriais.

Passo 3

O símbolo de Levi-Civita, representado por varepsilonijk, é um tensor totalmente anti-simétrico de terceira ordem. Ele vale +1 se (i,j,k) for uma permutação par de (1,2,3), -1 se for uma permutação ímpar, e 0 se qualquer índice se repete. Esse símbolo é essencial para expressar o rotacional de forma tensorial.

Passo 4

Em Álgebra Tensorial, o rotacional pode ser escrito como:
(nabla times v)i = varepsilonijk partial vkpartial xj
Aqui, i representa a componente resultante do rotacional, enquanto j e k são índices que percorrem as dimensões espaciais (1, 2, 3 correspondendo a x, y, z).

Passo 5

Vamos detalhar a expressão. Para cada componente i do vetor resultante nabla times v, somamos sobre os índices j e k multiplicados pelo símbolo de Levi-Civita e pela derivada parcial de vk em relação a xj. Isso captura a essência da rotação do campo vetorial v.

Passo 6

Agora, aplicando isso no contexto das coordenadas cartesianas, consideramos que v tem componentes (v1, v2, v3) correspondentes às direções x, y, z. Então, as componentes do rotacional serão:
(nabla times v)1 = partial v3partial y - partial v2partial z
(nabla times v)2 = partial v1partial z - partial v3partial x
(nabla times v)3 = partial v2partial x - partial v1partial y

Resposta

Então, o rotacional de v em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times v = ( partial v3partial y - partial v2partial z, partial v1partial z - partial v3partial x, partial v2partial x - partial v1partial y )

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