Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar
e
escalares,
vetores
T,
tensores de segunda ordem.
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
;
Para estes exercícios, considerar
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a operação de rotacional de um vetor
, ou seja,
, usando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial e álgebra tensorial. Para resolver, vamos precisar entender como representar operadores diferenciais e vetores em forma de tensores, além de usar as propriedades básicas de álgebra tensorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um vetor
, denotado por
, mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Em coordenadas cartesianas, isso pode ser expresso usando o símbolo de Levi-Civita, que é uma ferramenta útil para operações envolvendo determinantes e produtos vetoriais.
Passo 3
O símbolo de Levi-Civita, representado por
, é um tensor totalmente anti-simétrico de terceira ordem. Ele vale +1 se
for uma permutação par de
, -1 se for uma permutação ímpar, e 0 se qualquer índice se repete. Esse símbolo é essencial para expressar o rotacional de forma tensorial.
Passo 4
Em Álgebra Tensorial, o rotacional pode ser escrito como:
Aqui,
representa a componente resultante do rotacional, enquanto
e
são índices que percorrem as dimensões espaciais (1, 2, 3 correspondendo a x, y, z).
Passo 5
Vamos detalhar a expressão. Para cada componente
do vetor resultante
, somamos sobre os índices
e
multiplicados pelo símbolo de Levi-Civita e pela derivada parcial de
em relação a
. Isso captura a essência da rotação do campo vetorial
.
Passo 6
Agora, aplicando isso no contexto das coordenadas cartesianas, consideramos que
tem componentes
correspondentes às direções x, y, z. Então, as componentes do rotacional serão:
Resposta
Então, o rotacional de
em coordenadas cartesianas é dado por: