Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
nabla cdot v;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a divergência de um vetor v usando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Pra isso, vamos precisar entender o que é divergência, como ela se expressa em coordenadas cartesianas e como aplicar derivadas parciais nessa configuração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial, denotada por nabla cdot v, mede o quanto o vetor v está “saindo” ou “entrando” de um ponto. Se a divergência for positiva num ponto, significa que o vetor está divergindo (saindo) desse ponto; se for negativa, está convergindo (entrando).

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor v em coordenadas cartesianas. Em coordenadas x, y e z, o vetor v pode ser escrito como:
v = vx ex + vy ey + vz ez
Aqui, vx, vy e vz são as componentes do vetor v nas direções x, y e z, respectivamente, e ex, ey, ez são os vetores unitários nessas direções.

Passo 4

Para calcular a divergência nabla cdot v, usamos a seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z
Isso significa que a divergência é a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor v em relação à sua própria coordenada.

Resposta

Portanto, a divergência de v em coordenadas cartesianas é:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z

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