Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar
e
escalares,
vetores
T,
tensores de segunda ordem.
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
;
Para estes exercícios, considerar
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a divergência de um vetor
usando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Pra isso, vamos precisar entender o que é divergência, como ela se expressa em coordenadas cartesianas e como aplicar derivadas parciais nessa configuração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial, denotada por
, mede o quanto o vetor
está “saindo” ou “entrando” de um ponto. Se a divergência for positiva num ponto, significa que o vetor está divergindo (saindo) desse ponto; se for negativa, está convergindo (entrando).
Passo 3
Agora, vamos considerar o vetor
em coordenadas cartesianas. Em coordenadas
,
e
, o vetor
pode ser escrito como:
Aqui,
,
e
são as componentes do vetor
nas direções
,
e
, respectivamente, e
,
,
são os vetores unitários nessas direções.
Passo 4
Para calcular a divergência
, usamos a seguinte fórmula em coordenadas cartesianas:
Isso significa que a divergência é a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor
em relação à sua própria coordenada.
Resposta
Portanto, a divergência de
em coordenadas cartesianas é: