Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda ordem.
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
nabla cdot T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a divergência de um tensor T usando Álgebra Tensorial, especificamente em coordenadas cartesianas. Pra isso, precisamos entender o que é um tensor, o que é a operação de divergência, e como aplicar essa operação nas coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um tensor. Um tensor de segunda ordem, como o T aqui, pode ser pensado como uma matriz que relaciona vetores. Em coordenadas cartesianas, esse tensor tem componentes Tij, onde i e j variam de 1 a 3 (para as três dimensões espaciais).

Passo 3

Agora, sobre a divergência de um tensor. A divergência de um tensor de segunda ordem resulta em um vetor. Em termos matemáticos, a divergência de T, denotada por nabla cdot T, é um vetor cujas componentes são dadas pela derivada parcial dos componentes do tensor:
(nabla cdot T)i = sumj=1^3 partial Tijpartial xj
Isso significa que, para cada componente i do vetor resultante, somamos as derivadas parciais dos componentes Tij em relação às coordenadas xj.

Passo 4

Vamos então aplicar isso. Suponha que estamos trabalhando em três dimensões com coordenadas x, y, z. As componentes do tensor T seriam T11, T12, T13, T21, etc., até T33.
Para calcular a divergência, fazemos o seguinte para cada componente do vetor resultante:
(nabla cdot T)1 = partial T11partial x + partial T12partial y + partial T13partial z
(nabla cdot T)2 = partial T21partial x + partial T22partial y + partial T23partial z
(nabla cdot T)3 = partial T31partial x + partial T32partial y + partial T33partial z

Passo 5

Vamos resumir: para cada linha do tensor T, calculamos a soma das derivadas parciais dos seus componentes em relação às respectivas coordenadas. Isso nos dá as componentes do vetor divergente nabla cdot T.

Resposta

Portanto, a divergência do tensor T em coordenadas cartesianas é o vetor cujas componentes são:
nabla cdot T = ( partial T11partial x + partial T12partial y + partial T13partial z, partial T21partial x + partial T22partial y + partial T23partial z, partial T31partial x + partial T32partial y + partial T33partial z )

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