Ex. 1.1 - Exercício : Ảlgebra Tensorial Bird et al. (2007)
Para estes exercícios, considerar
e
escalares,
vetores
T,
tensores de segunda ordem.
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
.
Para estes exercícios, considerar
Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a divergência de um tensor
usando Álgebra Tensorial, especificamente em coordenadas cartesianas. Pra isso, precisamos entender o que é um tensor, o que é a operação de divergência, e como aplicar essa operação nas coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um tensor. Um tensor de segunda ordem, como o
aqui, pode ser pensado como uma matriz que relaciona vetores. Em coordenadas cartesianas, esse tensor tem componentes
, onde
e
variam de 1 a 3 (para as três dimensões espaciais).
Passo 3
Agora, sobre a divergência de um tensor. A divergência de um tensor de segunda ordem resulta em um vetor. Em termos matemáticos, a divergência de
, denotada por
, é um vetor cujas componentes são dadas pela derivada parcial dos componentes do tensor:
Isso significa que, para cada componente
do vetor resultante, somamos as derivadas parciais dos componentes
em relação às coordenadas
.
Passo 4
Vamos então aplicar isso. Suponha que estamos trabalhando em três dimensões com coordenadas
,
,
. As componentes do tensor
seriam
,
,
,
, etc., até
.
Para calcular a divergência, fazemos o seguinte para cada componente do vetor resultante:
Passo 5
Vamos resumir: para cada linha do tensor
, calculamos a soma das derivadas parciais dos seus componentes em relação às respectivas coordenadas. Isso nos dá as componentes do vetor divergente
.
Resposta
Portanto, a divergência do tensor
em coordenadas cartesianas é o vetor cujas componentes são: