Obter a equação para transferência de massa para um sistema bidimensional nas direções x e y quando os coeficientes (densidade e difusão molecular) podem ser considerados constantes e quando não há reação química(sem geração).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação de transferência de massa em um sistema bidimensional, ou seja, nas direções $ x $ e $ y $. A gente vai assumir que os coeficientes de densidade e difusão molecular são constantes e que não tem reação química acontecendo (sem geração de massa). Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de conservação de massa e difusão molecular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da lei da conservação de massa. Ela diz que a variação da concentração de uma substância em um ponto é igual ao fluxo de massa entrando menos o fluxo de massa saindo desse ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a difusão molecular, que é descrita pela lei de Fick. Em duas dimensões, a taxa de difusão na direção $ x $ é $ -D_x \frac{\partial C}{\partial x} $ e na direção $ y $ é $ -D_y \frac{\partial C}{\partial y} $, onde $ D_x $ e $ D_y $ são os coeficientes de difusão nas respectivas direções, e $ C $ é a concentração.

Passo 4

Como os coeficientes de densidade ($ \rho rho ã D D ãõçãçãçã \frac{\partial C}{\partial t} $) será igual à soma das segundas derivadas espaciais das concentrações nas direções $ x $ e $ y $, multiplicadas pelos coeficientes de difusão.

Passo 5

Juntando tudo isso, a equação de transferência de massa fica:
partial Cpartial t = Dx partial^2 Cpartial x^2 + Dy partial^2 Cpartial y^2

Resposta

A equação de transferência de massa para o sistema bidimensional é
partial Cpartial t = Dx partial^2 Cpartial x^2 + Dy partial^2 Cpartial y^2

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