Ex. 6. Fatore:
x^7+x^5-1 ;[ Dica: escreva x^3(x^4+x^2+1)-(x^3+1).

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
x^7 + x^5 - 1
O conteúdo envolvido é fatoração por agrupamento e uso de factorização de polinômios ciclotômicos, em particular
x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1) e x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

Passo 2

Seguindo a dica, escrevemos
x^7+x^5-1 = x^3l(x^4+x^2+1r);-;(x^3+1)

Passo 3

Agora usamos as factorização conhecidas:
x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1),
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
Logo ambos os termos têm fator comum (x^2-x+1).

Passo 4

Fatorando (x^2-x+1), obtemos
x^3(x^4+x^2+1);-;(x^3+1) =(x^2-x+1)l[x^3(x^2+x+1)-(x+1)r]

Passo 5

Basta agora desenvolver o que está no colchete:
x^3(x^2+x+1)-(x+1) = x^5+x^4+x^3-x-1
Como esse quíntico não admite raízes racionais, terminamos a fatoração.

Resposta

x^7+x^5-1 = (x^2-x+1),(x^5+x^4+x^3-x-1)

Exercícios relacionados