Obtenha as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais.
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Passo 1
Resumo do enunciado: queremos escrever as seis funções hiperbólicas inversas
em termos de logaritmos naturais, especificando o domínio de cada uma.
em termos de logaritmos naturais, especificando o domínio de cada uma.
Passo 2
Derivando
. Seja
, então
Multiplicando por
e rearranjando obtemos
A solução positiva é
logo
Passo 3
Derivando
. Seja
, então
Multiplicando por
e definindo
dá
cuja raiz maior é
Como
, exige-se
e
Passo 4
Derivando
. Seja
, então
Chamando
temos
Tomando a raiz positiva e aplicando
,
válido para
.
Passo 5
Derivando
. Seja
, então
Repetindo o mesmo procedimento (ver passo anterior) obtém-se
válido para
.
Passo 6
Derivando . Seja , então
Com
vem
Para
, a solução válida é
Passo 7
Derivando . Seja , então
Usando
dá
Para
escolhe-se a raiz positiva e