Obtenha as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais.
arg coth x=12 ln (x+1x-1),|x|>1;

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos escrever as seis funções hiperbólicas inversas

em termos de logaritmos naturais, especificando o domínio de cada uma.

Passo 2

Derivando argsinh x. Seja y=argsinh x, então
x=sinh y=e^y - e^-y2
Multiplicando por 2 e rearranjando obtemos
2x = e^y - e^-y, t=e^y;Rightarrow;2x t = t^2 -1;Rightarrow;t^2 - 2x t -1=0
A solução positiva é
t = x + raizx^2+1,
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y = ln t = ln!l(x + raizx^2+1r)

Passo 3

Derivando argcosh x. Seja y=argcosh x, então
x=cosh y=e^y + e^-y2
Multiplicando por 2 e definindo t=e^y
2x = t + 1t;Rightarrow;t^2 - 2x t +1=0,
cuja raiz maior é
t = x + raizx^2-1
Como cosh y>=1, exige-se x>=1 e
y = ln!l(x + raizx^2-1r)

Passo 4

Derivando argtanh x. Seja y=argtanh x, então
x=tanh y=e^y - e^-ye^y + e^-y
Chamando t=e^y temos
x(t + t^-1)=t - t^-1;Rightarrow;x t^2 + x = t^2 -1 ;Rightarrow;(1 - x)t^2 = x + 1 ;Rightarrow;t^2 = 1+x1-x
Tomando a raiz positiva e aplicando ln,
y = tfrac12 ln!l(tfrac1+x1-xr),
válido para |x|<1.

Passo 5

Derivando argcoth x. Seja y=argcoth x, então
x=coth y=e^y + e^-ye^y - e^-y
Repetindo o mesmo procedimento (ver passo anterior) obtém-se
y = tfrac12 ln!l(tfracx+1x-1r),
válido para |x|>1.

Passo 6

Derivando . Seja , então
Com vem
Para , a solução válida é

Passo 7

Derivando . Seja , então
Usando
Para escolhe-se a raiz positiva e

Resposta

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