Ex. 6. Fatore:
x^10+x^2+1; [Dica: escreva x^4(x^6-1)+(x^4+x^2+1). ]

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
x^10 + x^2 + 1
O conteúdo que vamos usar é agrupamento de termos e a substituição t = x^2 para reduzir a fatoração a um polinômio em t.

Passo 2

Usando a dica, reescrevemos
x^10 + x^2 + 1 = x^4l(x^6 - 1r) + l(x^4 + x^2 + 1r)

Passo 3

Definindo t = x^2, o polinômio fica
x^10 + x^2 + 1 = t^5 + t + 1
Agora fatoramos t^5 + t + 1 dividindo-o por t^2 + t + 1. A divisão polinomial dá
t^5 + t + 1 = (t^2 + t + 1),(t^3 - t^2 + 1)
sem resto, pois
(t^2 + t + 1)(t^3 - t^2 + 1) = t^5 + t + 1

Passo 4

Substituindo de volta t = x^2, obtemos
x^10 + x^2 + 1 = l(x^4 + x^2 + 1r),l(x^6 - x^4 + 1r)

Resposta

(x^4 + x^2 + 1)(x^6 - x^4 + 1)

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