Ex. 6. Fatore:
x^7+x^5+1; [Dica: escreva x^3(x^4+x^2+1)-x(x^2+x+1)+(x^2+x+1) ]

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
x^7 + x^5 + 1
O conteúdo é fatoração de polinômios usando agrupamento e fatoração de somas de potências (polinômios ciclotômicos).

Passo 2

Usando a dica, reescrevemos
x^7 + x^5 + 1 = x^3l(x^4+x^2+1r);-;xl(x^2+x+1r);+;l(x^2+x+1r)

Passo 3

Agrupamos os dois últimos termos em fator comum:
-,xl(x^2+x+1r)+l(x^2+x+1r) =l(1 - xr)l(x^2+x+1r)
Logo
x^7 + x^5 + 1 = x^3l(x^4+x^2+1r) ;+;(1-x)l(x^2+x+1r)

Passo 4

Fatoramos agora
x^4+x^2+1 =(x^2+x+1)(x^2-x+1),
que é a fatoração clássica de soma de potências. Assim
x^3l(x^4+x^2+1r) = x^3(x^2+x+1)(x^2-x+1),
e portanto
x^7 + x^5 + 1 =(x^2+x+1)l[x^3(x^2-x+1)+(1-x)r]

Passo 5

Basta agora desenvolver o que está entre colchetes:
x^3(x^2-x+1)+(1-x) = x^5-x^4+x^3+1 - x = x^5-x^4+x^3-x+1
Logo a fatoração completa é
x^7 + x^5 + 1 = (x^2+x+1),(x^5-x^4+x^3-x+1)

Resposta

(x^2+x+1),(x^5-x^4+x^3-x+1)

Exercícios relacionados