Ex. 6. Fatore:
x^6+1 ;[ Dica: soma de cubos (x^2)^3+1^3.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar x^6+1. Observamos que é uma soma de cubos, pois podemos escrever
x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1^3
Vamos usar a fórmula de soma de cubos para iniciar a fatoração.

Passo 2

A fórmula de soma de cubos diz:
a^3 + b^3 = (a + b),(a^2 - a,b + b^2)
Tomando a = x^2 e b = 1, obtemos
x^6 + 1 = (x^2 + 1),l((x^2)^2 - x^2cdot1 + 1^2r) = (x^2 + 1),(x^4 - x^2 + 1)

Passo 3

Agora analisamos o segundo fator x^4 - x^2 + 1. Para ver se ele se decompõe em quadráticos reais, procuramos uma fatoração do tipo
x^4 - x^2 + 1 = (x^2 + a,x + 1),(x^2 + b,x + 1)
Ao expandir, temos
(x^2 + a,x + 1)(x^2 + b,x + 1) = x^4 + (a+b)x^3 + (ab + 2)x^2 + (a+b)x + 1
Comparando com x^4 - x^2 + 1, obtemos
a + b = 0, ab + 2 = -1 Longrightarrow ab = -3, b = -a
Daí a^2 = 3, ou seja, a = pmraiz3. Portanto
x^4 - x^2 + 1 = (x^2 + raiz3,x + 1),(x^2 - raiz3,x + 1)

Resposta

A fatoração completa de x^6 + 1 em fatores polinomiais de grau menor com coeficientes reais é
boxed(x^2+1),(x^2+raiz3,x+1),(x^2-raiz3,x+1)

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