Ex. 5. Fatore a expressão a+b+a^2 b+a b^2-a^3-b^3.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
a + b + a^2b + ab^2 - a^3 - b^3
Aqui vamos usar dois conteúdos principais: o reconhecimento de um fator comum por agrupamento e a fórmula da soma de cubos

Passo 2

Primeiro note que podemos agrupar os quatro primeiros termos assim:
a + b + a^2b + ab^2 = (a + b) + ab,(a + b) = (a + b),l(1 + abr)
Logo a expressão original vira
(a + b),l(1 + abr);-;l(a^3+b^3r)

Passo 3

Agora aplicamos a fatoração da soma de cubos:
a^3+b^3=(a + b),l(a^2-ab+b^2r)
Substituindo, obtemos
(a + b),l(1 + abr);-;(a + b),l(a^2-ab+b^2r)

Passo 4

Colocando (a+b) em evidência, dá
(a + b)l[,(1 + ab);-;(a^2-ab+b^2)r] =(a + b)l[,1+ab - a^2+ab - b^2r] =(a + b)l[,1 + 2ab - a^2-b^2r]
E note que
1 + 2ab - a^2-b^2 = 1 - (a^2-2ab+b^2) = 1 - (a - b)^2

Passo 5

Reconhecemos agora uma diferença de quadrados:
1 - (a - b)^2 = l(1 - (a - b)r),l(1 + (a - b)r)
Portanto a fatoração completa fica
(a + b),l(1 - (a - b)r),l(1 + (a - b)r) = (a + b),(1 - a + b),(1 + a - b)

Resposta

(a + b),(1 - a + b),(1 + a - b)

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