Ex. 4. Observando que as expressões algébricas abaixo são diferenças ou somas de cubos, fatore-as.
8 p^3-1125 q^3 e 8 p^3+1125 q^3.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as expressões
8p^3-1125q^3
e
8p^3+1125q^3,
sabendo que são, respectivamente, diferença e soma de cubos. Para isso, vamos usar as fórmulas gerais:
a^3-b^3=(a-b),(a^2+ab+b^2),
a^3+b^3=(a+b),(a^2-ab+b^2)

Passo 2

Identificamos em ambas as expressões
a=2p, b=15q,
pois (2p)^3=8p^3 e l(tfrac15qr)^3=tfrac1125q^3.

Passo 3

Para a diferença de cubos
8p^3-1125q^3 =(2p)^3-l(tfrac15qr)^3 =(2p-tfrac15q)l((2p)^2+(2p)tfrac15q+(tfrac15q)^2r)
Calculando os termos:
(2p)^2=4p^2, (2p),tfrac15q=2p5q, l(tfrac15qr)^2=125q^2
Logo,
8p^3-1125q^3 =(2p-tfrac15q)l(4p^2+2p5q+125q^2r)

Passo 4

Para a soma de cubos
8p^3+1125q^3 =(2p)^3+l(tfrac15qr)^3 =(2p+tfrac15q)l((2p)^2-(2p)tfrac15q+(tfrac15q)^2r)
Usando os mesmos cálculos de antes,
8p^3+1125q^3 =(2p+tfrac15q)l(4p^2-2p5q+125q^2r)

Resposta

8p^3-1125q^3 =(2p-tfrac15q)l(4p^2+2p5q+125q^2r),
8p^3+1125q^3 =(2p+tfrac15q)l(4p^2-2p5q+125q^2r)

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