Obtenha as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais.
arg sinh x=ln (x+raizx^2+1), x qualquer;

Passo 1

O enunciado pede para escrever as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais. Vamos usar as definições
sinh y=tfrace^y-e^-y2,
cosh y=tfrace^y+e^-y2 e
tanh y=tfrace^y-e^-ye^y+e^-y
e, para cada caso, resolver a equação que dá x em função de y, isolando y.

Passo 2

Para arcsinhx começamos com
x=sinh y=e^y-e^-y2
Multiplicando por 2 e definindo z=e^y temos
2x=z-1z Longrightarrow z^2-2xz-1=0
Essa equação quadrática em z tem solução
z=x+raizx^2+1 (escolhemos a raiz positiva para z=e^y>0)
Logo
e^y=x+raizx^2+1 Longrightarrow y=lnl(x+raizx^2+1r)

Passo 3

Para arccoshx (domínio x>=1) partimos de
x=cosh y=e^y+e^-y2,
multiplicamos por 2 e definimos z=e^y:
2x=z+1z Longrightarrow z^2-2xz+1=0
As raízes são z=xpmraizx^2-1. Como e^y>=1, escolhe-se
z=e^y=x+raizx^2-1,
logo
y=lnl(x+raizx^2-1r)

Passo 4

Para arctanhx (domínio |x|<1) começamos com
x=tanh y=e^y-e^-ye^y+e^-y
Definindo z=e^2y temos
x=z-1z+1 Longrightarrow x(z+1)=z-1 Longrightarrow z(1-x)=1+x Longrightarrow z=1+x1-x
Como z=e^2y, vem
2y=ln!l(1+x1-xr) Longrightarrow y=12ln!l(1+x1-xr)

Resposta

arcsinh x = lnl(x + raizx^2 + 1r)
arccosh x = lnl(x + raizx^2 - 1r),; x >= 1
arctanh x = tfrac12 ln!l(tfrac1 + x1 - xr),; |x| < 1

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