Ex. 3. Fatore as expressões algébricas abaixo:
(a^2-1)(b^2-1)-4 a b ;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
(a^2 - 1)(b^2 - 1) - 4ab
O conteúdo envolve expansão de produtos, rearranjo em variáveis auxiliares e fatoração por diferença de quadrados.

Passo 2

Expandimos primeiro o produto
(a^2 - 1)(b^2 - 1) = a^2 b^2 - a^2 - b^2 + 1
e, ao subtrair 4ab, obtemos a forma totalmente expandida
a^2 b^2 - a^2 - b^2 + 1 - 4ab

Passo 3

Definimos variáveis auxiliares para simplificar:
X = ab, Y = a + b
Em função de X e Y, a expressão torna-se
X^2 - l(a^2 + b^2r) + 1 - 4X
Como
a^2 + b^2 = Y^2 - 2ab = Y^2 - 2X,
substituímos e chegamos a
X^2 - (Y^2 - 2X) + 1 - 4X = X^2 - Y^2 - 2X + 1

Passo 4

Reconhecemos
X^2 - Y^2 - 2X + 1 = (X^2 - 2X + 1) - Y^2 = (X-1)^2 - Y^2
Agora aplicamos a fatoração por diferença de quadrados:
(X-1)^2 - Y^2 = l(X - 1 - Yr),l(X - 1 + Yr)

Passo 5

Voltando às variáveis originais ( X=ab e Y=a+b), temos
X - 1 - Y = ab - 1 - (a + b) = ab - a - b - 1,
X - 1 + Y = ab - 1 + (a + b) = ab + a + b - 1
Portanto, a fatoração final é
(ab - a - b - 1),(ab + a + b - 1)

Resposta

(ab - a - b - 1)(ab + a + b - 1)

Exercícios relacionados