Ex. 3. Fatore as expressões algébricas abaixo:
x^2(y-z)-y^2(z+x)-z^2(x-y)+2 x y z;

Passo 1

O problema pede a fatoração da expressão
E = x^2(y-z);-;y^2(z+x);-;z^2(x-y);+;2,x,y,z
que é um polinômio homogêneo de grau 3 em x,y,z.

Passo 2

Vamos encarar E como um polinômio em z, agrupando os termos por potências de z. Ao expandir e recolher, obtemos
E(z) ;=;(y - x),z^2;-;(x - y)^2,z;+;x,y,(x - y)

Passo 3

Note que y-x=-(x-y), então
E(z) = -(x - y),l(z^2 + (x - y),z - x,yr)

Passo 4

O termo dentro do parêntese é um quadrático em z. Para fatorá-lo, achamos suas raízes resolvendo
z^2 + (x - y),z - x,y = 0
O discriminante é
De<a = (x-y)^2 + 4,x,y = (x+y)^2,
portanto as raízes são
z = -(x-y)pm(x+y)2 ;;longrightarrow;; z=y ou z=-x

Passo 5

Dessa forma
z^2 + (x - y),z - x,y = (z - y),(z + x),
e voltando a E(z) temos
E = -(x - y),(z - y),(z + x) = (x - y),(y - z),(x + z)

Resposta

(x - y),(y - z),(x + z)

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