Questäo (t.s pontos): Sabendo que a função f satisfaz x+12<f(x)<x^prime+x-24 x-4. para todo x neq 1, calcule lim x 1 f(x).

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função f definida para todo x≠1 tal que
x+12<f(x)<x^2+x-24x-4
O conteúdo aqui é aplicação do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Vamos precisar simplificar os dois limites das funções que fazem as cotas inferior e superior e ver se elas se igualam em x→1.

Passo 2

Primeiro, definimos as duas funções de cota:
g(x)=x+12,
h(x)=x^2+x-24x-4
A ideia é calcular limxto1g(x) e limxto1h(x).

Passo 3

Para g(x)=x+12 é direto:
limxto1g(x)=limxto1x+12=1+12=1

Passo 4

Para h(x)=x^2+x-24x-4 note que o numerador fatora:
x^2+x-2=(x-1)(x+2),
e o denominador é 4(x-1). Como xneq1, podemos simplificar:
h(x)=(x-1)(x+2)4(x-1)=x+24
Então
limxto1h(x)=1+24=34

Passo 5

Como limxto1g(x)=1 e limxto1h(x)=3/4 são valores diferentes, o Teorema do Confronto não garante um único limite para f(x). De fato, como g(x)<f(x)<h(x) e 1neq3/4, não há como forçar f(x) a convergir a um único valor.

Passo 6

Concluímos que não existe um limite único para f(x) quando xto1.

Resposta

O limite limxto1f(x) não existe.

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