Questäo (t.s pontos): Sabendo que a função
satisfaz
. para todo
, calcule
.
Passo 1
O enunciado diz que existe uma função f definida para todo x≠1 tal que
O conteúdo aqui é aplicação do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Vamos precisar simplificar os dois limites das funções que fazem as cotas inferior e superior e ver se elas se igualam em x→1.
Passo 2
Primeiro, definimos as duas funções de cota:
A ideia é calcular
e
.
Passo 3
Para
é direto:
Passo 4
Para
note que o numerador fatora:
e o denominador é
. Como
, podemos simplificar:
Então
Passo 5
Como
e
são valores diferentes, o Teorema do Confronto não garante um único limite para
. De fato, como
e
, não há como forçar
a convergir a um único valor.
Passo 6
Concluímos que não existe um limite único para
quando
.
Resposta
O limite
não existe.