Suponha que e sejam funções vetoriais lisas tais que e . Use essa informação para calcular a derivada em de cada função.

Passo 1

A questão dá duas funções vetoriais lisas r1(t) e r2(t) com os valores em t=0:
r1(0)=lang<=-1,1,2rang<=, r2(0)=lang<=1,2,1rang<= e as derivadas em zero r1'(0)=r2'(0)=lang<=4,0,2rang<=. O objetivo é achar r(t)=r1(t)timesr2(t) e calcular r,'(0).

Passo 2

Para derivar o produto vetorial, usamos a regra:
ddtl(r1(t)timesr2(t)r)=r1'(t)timesr2(t)+r1(t)timesr2'(t)
Então em t=0 temos
r,'(0)=r1'(0)timesr2(0)+r1(0)timesr2'(0)

Passo 3

Vamos calcular r1'(0)timesr2(0). Substituindo:
r1'(0)=lang<=4,0,2rang<=, r2(0)=lang<=1,2,1rang<=,
lang<=4,0,2rang<=timeslang<=1,2,1rang<= =l(0cdot1-2cdot2,,-(4cdot1-2cdot1),,4cdot2-0cdot1r) =lang<=-4,-2,8rang<=

Passo 4

Agora calculamos r1(0)timesr2'(0). Com r1(0)=lang<=-1,1,2rang<= e r2'(0)=lang<=4,0,2rang<=,
lang<=-1,1,2rang<=timeslang<=4,0,2rang<= =l(1cdot2-2cdot0,,-(-1cdot2-2cdot4),,-1cdot0-1cdot4r) =lang<=2,10,-4rang<=

Passo 5

Somando as duas parcelas para obter r,'(0):
r,'(0)=lang<=-4,-2,8rang<=+lang<=2,10,-4rang<==lang<=-2,8,4rang<=

Resposta

r,'(0)=lang<=-2,8,4rang<=

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