Ex. 3. Fatore as expressões algébricas abaixo:
3 x^2-2 y^2+5 x y+x+9 y-4;

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
3x^2-2y^2+5xy+x+9y-4
Aqui vamos tratar esse polinômio como uma quadrática em x com coeficientes que dependem de y e usar a fórmula de Bhaskara para encontrar suas raízes em x.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da “quadrática” em x:
a = 3, b = 5y + 1, c = -2y^2 + 9y - 4

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = b^2 - 4ac = (5y+1)^2 - 4cdot 3 cdot(-2y^2+9y-4)
Expandindo e somando termos obtemos
De<a = 25y^2+10y+1 + 12(2y^2-9y+4) =25y^2+10y+1 +24y^2-108y+48 =49(y-1)^2

Passo 4

As raízes em x são
x = -b pm raizDe<a2a = -(5y+1)pm 7(y-1)6
Isso dá
x1 = -(5y+1)+7y-76 = 2y-86 = y-43, x2 = -(5y+1)-7y+76 = -12y+66 = -2y+1

Passo 5

Logo o polinômio fatora como
3l(x - x1r)l(x - x2r) =3l(x - y-43r)l(x -(-2y+1)r)
Fatorando e simplificando obtemos
(3x - (y-4)),(x +2y -1) =(3x - y +4),(x +2y -1)

Resposta

(3x - y + 4),(x + 2y - 1)

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