Resolva as equações:
2 x y^2-2x^3+(2 x^2 y-1y^2) y^prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
2 x y^2-2x^3+l(2 x^2 y-1y^2r)y'=0
Esse tipo de equação pode ser vista como
M(x,y)+N(x,y),y'=0
e resolvida pelo método de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2x,y^2-2x^3, N(x,y)=2x^2,y-1y^2
Para checar exatidão, comparamos
partial Mpartial y =4x,y, partial Npartial x =4x,y
Como coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x = M(x,y)
Integrando em x com y fixo:
psi(x,y) =integrall(2x,y^2-2x^3r),dx = x^2,y^2+1x^2+h(y)

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partialpsipartial y =2x^2,y+h'(y) stackrel!=N(x,y)=2x^2,y-1y^2
Isso dá
h'(y)=-1y^2,
e integrando em y:
h(y)=1y

Passo 5

A solução geral implícita vem de
psi(x,y)=C,
ou seja
x^2,y^2+1x^2+1y=C

Resposta

x^2,y^2+1x^2+1y=C

Exercícios relacionados