Ex. 6. Fatore:
x^5+x-1; [Dica: escreva x^2(x^3+1)-(x^2-x+1).

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
x^5 + x - 1
usando agrupamento. O conteúdo aqui é “fatoração por agrupamento”, que consiste em escrever o polinômio como soma ou diferença de dois blocos que compartilham um fator em comum.

Passo 2

Aplicando a dica, reescrevemos
x^5 + x - 1 = x^2,(x^3+1);-;(x^2 - x + 1)

Passo 3

Reconhecemos que x^3+1 é uma soma de cubos, cuja fatoração é
x^3 + 1 = (x+1),(x^2 - x + 1)

Passo 4

Substituindo na expressão de agrupamento, temos
x^5 + x - 1 = x^2,(x+1),(x^2 - x + 1);-;(x^2 - x + 1) = (x^2 - x + 1),l[x^2,(x+1)-1r]
E dentro do colchete
x^2,(x+1)-1 = x^3 + x^2 - 1

Passo 5

Logo chegamos à fatoração
x^5 + x - 1 = (x^2 - x + 1),(x^3 + x^2 - 1)
Verificamos que o polinômio cúbico x^3+x^2-1 não possui raízes racionais (testando x=pm1), então ele é irreduzível sobre Q.

Resposta

(x^2 - x + 1),(x^3 + x^2 - 1)

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