Obtenha as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais.
arg cosh x=ln (x+raizx^2-1), x >= 1;

Passo 1

O enunciado quer expressar todas as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais. Já sabemos que
, para .
Para obter as outras vamos usar as definições exponenciais:
,
,
,
e
.

Passo 2

Determinar arcsinh(x).
Seja y=arcsinh(x) então
x=sinh y=e^y-e^-y2
Multiplicando por 2e^y e reorganizando obtemos
e^2y-2x,e^y-1=0
Essa é uma equação quadrática em e^y; a solução positiva é
e^y=x+raizx^2+1,
logo
y=lnl(x+raizx^2+1r)

Passo 3

Determinar arctanh(x).
Seja y=arctanh(x) então
x=tanh y=e^y-e^-ye^y+e^-y =e^2y-1e^2y+1
Isolando e^2y
e^2y=1+x1-x,
e portanto
y=12ln!l(1+x1-xr)

Passo 4

Determinar arccoth(x).
Seja y=arccoth(x) então
x=coth y=e^2y+1e^2y-1
Isolando e^2y resulta
e^2y=x+1x-1,
e assim
y=12ln!l(x+1x-1r)

Passo 5

Determinar .
Seja então
Reescrevendo e resolvendo para
logo

Passo 6

Determinar .
Seja então
Resolvendo para encontra-se
e portanto

Resposta

(a) arcsinh(x)=lnl(x+raizx^2+1r)
(b) arccosh(x)=lnl(x+raizx^2-1r), x>=1
(c) arctanh(x)=tfrac12ln!l(1+x1-xr),|x|<1
(d) arccoth(x)=tfrac12ln!l(x+1x-1r),|x|>1
(e) arcsech(x)=ln!l(1+raiz1-x^2xr),0<x<=1
(f) arccsch(x)=ln!l(1+raiz1+x^2xr), xneq0

Exercícios relacionados