Obtenha as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais.
;
Passo 1
O enunciado quer expressar todas as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais. Já sabemos que
, para
.
Para obter as outras vamos usar as definições exponenciais:
,
,
,
e
.
Para obter as outras vamos usar as definições exponenciais:
e
.
Passo 2
Determinar
.
Seja então
Seja
Multiplicando por
e reorganizando obtemos
Essa é uma equação quadrática em
; a solução positiva é
logo
Passo 3
Determinar
.
Seja então
Seja
Isolando
dá
e portanto
Passo 4
Determinar
.
Seja então
Seja
Isolando
resulta
e assim
Passo 5
Determinar
.
Seja então
Seja
Reescrevendo e resolvendo para
dá
logo
Passo 6
Determinar
.
Seja então
Seja
Resolvendo para
encontra-se
e portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)