Ex 5. A função
representa uma certa energia em uma superfície. Sabendo que os pontos
devem satisfazer a equação da reta
, encontre os pontos onde
atinge seus valores extremos.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
sujeita à reta
O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar pontos críticos.
Passo 2
Montamos a função de Lagrange
A ideia é anular as derivadas parciais de
em
,
e
.
Passo 3
Calculamos as condições de ótimo:
Das duas primeiras igualdades vem
Substituindo em
obtemos
.
Passo 4
O único ponto crítico na reta é
. Para ver que é máximo basta notar que, ao substituir
,
é uma parábola voltada para baixo. Logo
é ponto de máximo e
quando
na reta, ou seja, não há mínimo.
Resposta
O valor máximo de
ocorre em
com
e não existe valor mínimo pois
é não limitado inferiormente sobre a reta
.