Ex 5. A função H(x, y)=x^{2}+2 x y representa uma certa energia em uma superfície. Sabendo que os pontos (x, y) devem satisfazer a equação da reta x+y=3, encontre os pontos onde H atinge seus valores extremos.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
H(x,y)=x^{2}+2xy
sujeita à reta
x+y=3.
O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar pontos críticos.

Passo 2

Montamos a função de Lagrange
L(x,y,\lambda)=x^{2}+2xy-\lambda\,(x+y-3).
A ideia é anular as derivadas parciais de L em x, y e \lambda.

Passo 3

Calculamos as condições de ótimo:
\frac{\partial L}{\partial x}=2x+2y-\lambda=0,
\frac{\partial L}{\partial y}=2x-\lambda=0,
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x+y-3)=0.
Das duas primeiras igualdades vem
2x+2y=\lambda \quad\text{e}\quad 2x=\lambda \quad\Longrightarrow\quad 2x+2y=2x \quad\Longrightarrow\quad y=0.
Substituindo em x+y=3 obtemos x=3.

Passo 4

O único ponto crítico na reta é (3,0). Para ver que é máximo basta notar que, ao substituir y=3-x,
H(x,3-x)=-x^{2}+6x
é uma parábola voltada para baixo. Logo (3,0) é ponto de máximo e H\to -\infty quando x\to\pm\infty na reta, ou seja, não há mínimo.

Resposta

O valor máximo de H ocorre em (3,0) com
H(3,0)=9,
e não existe valor mínimo pois H é não limitado inferiormente sobre a reta x+y=3.

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