Ex 4. Uma placa fina está sujeita à força de tensão superficial dada por F(x, y)=x^{2}-y^{2}+x y, com a restrição de que (x, y) deve estar sobre a reta x-2 y=1. Encontre os pontos onde F assume seus valores extremos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar extremos de
F(x,y)=x^{2}-y^{2}+xy
sujeito à reta de restrição
x-2y=1.
Este é um problema de otimização com restrição linear; podemos usar substituição para reduzir a uma única variável.

Passo 2

Da reta x-2y=1 isolamos x:
x = 1 + 2y.

Passo 3

Substituímos x=1+2y em F(x,y) para obter função de y só:
F(1+2y,y) = (1+2y)^{2} - y^{2} + (1+2y)\,y.
Expandindo,
(1+2y)^{2} = 1 + 4y +4y^{2},\quad (1+2y)y = y +2y^{2},
portanto
F(1+2y,y) = 1 +4y +4y^{2} - y^{2} + y +2y^{2} = 5y^{2}+5y+1.

Passo 4

Para achar extremos de
\displaystyle f(y)=5y^{2}+5y+1,
calculamos a derivada e igualamos a zero:
f'(y) = 10y +5,\quad 10y+5=0 \;\Longrightarrow\; y=-\tfrac12.

Passo 5

No ponto y=-\tfrac12 temos
x = 1 + 2\bigl(-\tfrac12\bigr) = 0,
logo o ponto é (0,-\tfrac12). Como f''(y)=10>0, trata-se de mínimo. O valor mínimo é
F(0,-\tfrac12) = 5\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}+5\bigl(-\tfrac12\bigr)+1 = \tfrac54 - \tfrac52 +1 = -\tfrac14.

Passo 6

Como f(y)\to+\infty quando \lvert y\rvert\to\infty, não há máximo global sobre a reta.

Resposta

O único extremo é um mínimo em (0,-\tfrac12) com valor F=-\tfrac14. Não existe máximo global sob a restrição.

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