Ex 4. Uma placa fina está sujeita à força de tensão superficial dada por
, com a restrição de que
deve estar sobre a reta
. Encontre os pontos onde
assume seus valores extremos.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar extremos de
sujeito à reta de restrição
Este é um problema de otimização com restrição linear; podemos usar substituição para reduzir a uma única variável.
Passo 2
Da reta
isolamos
:
Passo 3
Substituímos
em
para obter função de
só:
Expandindo,
portanto
Passo 4
Para achar extremos de
,
calculamos a derivada e igualamos a zero:
calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
No ponto
temos
logo o ponto é
. Como
, trata-se de mínimo. O valor mínimo é
Passo 6
Como
quando
, não há máximo global sobre a reta.
Resposta
O único extremo é um mínimo em
com valor
. Não existe máximo global sob a restrição.