Ex 3. A temperatura T(x, y) em uma placa metálica é dada por T(x, y)=50-x^{2}-y^{2}+4 x+6 y. Encontre o ponto em que a temperatura é máxima e o ponto em que é mínima.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
T(x,y) = 50 - x^{2} - y^{2} + 4x + 6y
e pede onde T atinge valor máximo e mínimo. O conteúdo é extremização de função de duas variáveis: vamos usar derivadas parciais para achar o ponto crítico e, em seguida, o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar o ponto. Por fim, analisamos o comportamento de T quando \|(x,y)\|\to\infty para ver se existe mínimo global.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
\frac{\partial T}{\partial x} = -2x + 4 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 2,
\frac{\partial T}{\partial y} = -2y + 6 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad y = 3.
Portanto, o único ponto crítico é (2,3).

Passo 3

Montamos a Hessiana de T:
H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}T}{\partial x\partial y} \\[6pt] \frac{\partial^{2}T}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\[3pt] 0 & -2 \end{pmatrix}.
Como os autovalores de H são ambos iguais a -2<0, a Hessiana é definida negativa e o ponto (2,3) é um máximo local. Num caso de forma quadrática, esse também é o máximo global.]

Passo 4

Para avaliar mínimo, notamos que o termo dominante em T é -x^{2}-y^{2}. Quando \|(x,y)\|\to\infty,
T(x,y)\to -\infty,
logo não existe ponto de mínimo global (a função decresce sem limite inferior).

Resposta

Máximo em (2,3), sem mínimo global.

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