Ex 3. A temperatura T(x, y) em uma placa metálica é dada por T(x, y)=50-x^{2}-y^{2}+4 x+6 y. Encontre o ponto em que a temperatura é máxima e o ponto em que é mínima.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
T(x,y) = 50 - x^{2} - y^{2} + 4x + 6y
e pede onde T atinge valor máximo e mínimo. O conteúdo é extremização de função de duas variáveis: vamos usar derivadas parciais para achar o ponto crítico e, em seguida, o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificar o ponto. Por fim, analisamos o comportamento de T quando \|(x,y)\|\to\infty para ver se existe mínimo global.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
Como os autovalores de H são ambos iguais a -2<0, a Hessiana é definida negativa e o ponto (2,3) é um máximo local. Num caso de forma quadrática, esse também é o máximo global.]
Passo 4
Para avaliar mínimo, notamos que o termo dominante em T é -x^{2}-y^{2}. Quando \|(x,y)\|\to\infty,
T(x,y)\to -\infty,
logo não existe ponto de mínimo global (a função decresce sem limite inferior).