Ex 2. A intensidade do campo elétrico em um plano é dada por
. Determine os pontos críticos de
e classifique-os como máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em
e pede para encontrar seus pontos críticos e classificá-los (máximo, mínimo ou sela). Para isso vamos usar derivadas parciais para achar os pontos estacionários (onde o gradiente se anula) e o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem de
:
Os pontos críticos satisfazem
Passo 3
Resolvendo o sistema
Portanto há um único ponto estacionário em
.
Passo 4
Agora avaliamos as segundas derivadas para montar a matriz Hessiana:
Assim, a Hessiana é
O determinante vale
e
. Como
e
, pelo teste das segundas derivadas o ponto
é um mínimo local.]
Resposta
O único ponto crítico é
, e ele é um mínimo local.