Ex 2. A intensidade do campo elétrico em um plano é dada por F(x, y)=3 x^{2}+y^{2}-6 x+4 y. Determine os pontos críticos de F(x, y) e classifique-os como máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 1

O enunciado nos dá a função \displaystyle F(x,y)=3x^{2}+y^{2}-6x+4y definida em \mathbb{R}^{2} e pede para encontrar seus pontos críticos e classificá-los (máximo, mínimo ou sela). Para isso vamos usar derivadas parciais para achar os pontos estacionários (onde o gradiente se anula) e o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem de F:
F_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}+y^{2}-6x+4y\bigr) =6x-6,
F_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+y^{2}-6x+4y\bigr) =2y+4.
Os pontos críticos satisfazem
F_{x}(x,y)=0,\quad F_{y}(x,y)=0.

Passo 3

Resolvendo o sistema
6x-6=0\quad\Longrightarrow\quad x=1,
2y+4=0\quad\Longrightarrow\quad y=-2.
Portanto há um único ponto estacionário em \bigl(1,-2\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos as segundas derivadas para montar a matriz Hessiana:
F_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(6x-6)=6,\quad F_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(6x-6)=0,
F_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2y+4)=2,\quad F_{yx}(x,y)=0.
Assim, a Hessiana é
H = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\[6pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante vale
\det H = 6\cdot 2 - 0 = 12 > 0,
e F_{xx}=6>0. Como \det H>0 e F_{xx}>0, pelo teste das segundas derivadas o ponto (1,-2) é um mínimo local.]

Resposta

O único ponto crítico é (1,-2), e ele é um mínimo local.

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