(1 { }^{\text {a }} Questão)
Encontre a área da região delimitada pelas curvas y=\sqrt{x}, y=-x, x=1 e x=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas curvas
\;y=\sqrt{x},\;\;y=-x,\;\;x=1 e \;x=4.
O conteúdo aqui é usar integração definida para calcular área de uma região entre duas funções.

Passo 2

Para x entre 1 e 4 temos
– a função \sqrt{x} é não-negativa e fica acima,
– a reta -x é negativa e fica abaixo.
Elas não se cruzam nesse intervalo, então o “topo” da região é y_{\rm sup}=\sqrt{x} e o “fundo” é y_{\rm inf}=-x.

Passo 3

A área A vale
A = \int_{x=1}^{x=4}\bigl(y_{\rm sup}-y_{\rm inf}\bigr)\,dx = \int_{1}^{4}\bigl(\sqrt{x} -(-x)\bigr)\,dx = \int_{1}^{4}\bigl(\sqrt{x} + x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculemos as antiderivadas:
\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}, \quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Logo
\int (\sqrt{x}+x)\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Avalie de 1 a 4:
em x=4:
\frac{2}{3}\cdot4^{3/2} + \frac{4^{2}}{2} = \frac{2}{3}\cdot8 + \frac{16}{2} = \frac{16}{3} + 8 = \frac{16+24}{3} = \frac{40}{3}.
em x=1:
\frac{2}{3}\cdot1^{3/2} + \frac{1^{2}}{2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6}.
Subtraindo,
A = \frac{40}{3} - \frac{7}{6} = \frac{80-7}{6} = \frac{73}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{73}{6}
(unidades de área)

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