Ex 1. Um objeto é lançado de um ponto ( x, y ) no plano e sua energia potencial é dada pela função E(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y. Determine os pontos críticos e classifique-os. Qual é o ponto em que a energia potencial é mínima?

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial
E(x,y)=x^{2}+2y^{2}-4x-8y
e pede os pontos críticos e sua classificação. Para isso vamos usar que pontos críticos satisfazem \nabla E=0 e que a natureza desses pontos (mínimo, máximo ou ponto de sela) decorre da análise da definitude da matriz Hessiana de E.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial E}{\partial x}=2x-4=0
\frac{\partial E}{\partial y}=4y-8=0
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x=2, \quad y=2.
O único ponto crítico é (2,2).

Passo 3

A Hessiana de E é
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 E}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^2 E}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 E}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\[3pt] 0 & 4 \end{pmatrix}.
Como os menores principais de H são 2>0 e \det H=8>0, a Hessiana é definida positiva. Portanto (2,2) é ponto de mínimo. Além disso, sendo E uma forma quadrática com Hessiana definida positiva, esse mínimo é global.]

Resposta

O único ponto crítico é (2,2), que é ponto de mínimo (global) da energia potencial. A energia mínima vale
E(2,2)=-12.

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