Ex 1. Um objeto é lançado de um ponto ( x, y ) no plano e sua energia potencial é dada pela função E(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y. Determine os pontos críticos e classifique-os. Qual é o ponto em que a energia potencial é mínima?
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial
E(x,y)=x^{2}+2y^{2}-4x-8y
e pede os pontos críticos e sua classificação. Para isso vamos usar que pontos críticos satisfazem \nabla E=0 e que a natureza desses pontos (mínimo, máximo ou ponto de sela) decorre da análise da definitude da matriz Hessiana de E.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Como os menores principais de H são 2>0 e \det H=8>0, a Hessiana é definida positiva. Portanto (2,2) é ponto de mínimo. Além disso, sendo E uma forma quadrática com Hessiana definida positiva, esse mínimo é global.]
Resposta
O único ponto crítico é (2,2), que é ponto de mínimo (global) da energia potencial. A energia mínima vale