( Ex 5.2.4 do livro texto, alterado) Sejam V_{1}=(1,1,2), V_{2}=(1,0,0) e V_{3}=(4,6,12). Qual é a dimensão do espaço gerado por V_{1}, V_{2} e V_{3} ? Descreva geometricamente o espaço gerado por V_{1}, V_{2} e V_{3}.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão de \mathrm{span}\{V_{1},V_{2},V_{3}\} em \mathbb{R}^{3} e sua descrição geométrica. Para isso vamos usar os conceitos de combinação linear, independência linear e dimensão de subespaços vetoriais.
Passo 2
Verificamos primeiro se V_{1} e V_{2} são independentes. Note que
V_{1}=(1,1,2),\quad V_{2}=(1,0,0).
Como não existe escalar \lambda tal que \lambda(1,0,0)=(1,1,2), concluímos que V_{1} e V_{2} são linearmente independentes.
Passo 3
Tentamos expressar V_{3}=(4,6,12)\) como combinação de \(V_{1}\) e \(V_{2}\). Buscamos \(a,b\) tais que
\[a\,(1,1,2)+b\,(1,0,0)=(4,6,12).
Da segunda equação vem a=6\], que satisfaz a terceira, e da primeira obtemos \(b=4-a=-2. Logo
V_{3}=6\,V_{1}-2\,V_{2},
ou seja, V_{3} está no span de V_{1},V_{2}.
Passo 4
Como V_{1},V_{2} são independentes e V_{3} é combinação deles, a dimensão de \mathrm{span}\{V_{1},V_{2},V_{3}\} é igual ao número de vetores independentes, isto é,