( Ex 5.2.4 do livro texto, alterado) Sejam V_{1}=(1,1,2), V_{2}=(1,0,0) e V_{3}=(4,6,12). Qual é a dimensão do espaço gerado por V_{1}, V_{2} e V_{3} ? Descreva geometricamente o espaço gerado por V_{1}, V_{2} e V_{3}.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de \mathrm{span}\{V_{1},V_{2},V_{3}\} em \mathbb{R}^{3} e sua descrição geométrica. Para isso vamos usar os conceitos de combinação linear, independência linear e dimensão de subespaços vetoriais.

Passo 2

Verificamos primeiro se V_{1} e V_{2} são independentes. Note que
V_{1}=(1,1,2),\quad V_{2}=(1,0,0).
Como não existe escalar \lambda tal que \lambda(1,0,0)=(1,1,2), concluímos que V_{1} e V_{2} são linearmente independentes.

Passo 3

Tentamos expressar V_{3}=(4,6,12)\) como combinação de \(V_{1}\) e \(V_{2}\). Buscamos \(a,b\) tais que \[a\,(1,1,2)+b\,(1,0,0)=(4,6,12).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a+b=4,\\\ a=6,\\\\ 2a=12. \end{cases}
Da segunda equação vem a=6\], que satisfaz a terceira, e da primeira obtemos \(b=4-a=-2. Logo
V_{3}=6\,V_{1}-2\,V_{2},
ou seja, V_{3} está no span de V_{1},V_{2}.

Passo 4

Como V_{1},V_{2} são independentes e V_{3} é combinação deles, a dimensão de \mathrm{span}\{V_{1},V_{2},V_{3}\} é igual ao número de vetores independentes, isto é,
\dim\bigl(\mathrm{span}\{V_{1},V_{2},V_{3}\}\bigr)=2.

Passo 5

Uma descrição geométrica é que esse subespaço é um plano que passa pela origem e é gerado por V_{1} e V_{2}. Em forma paramétrica:
s\,(1,0,0)+t\,(1,1,2)=(s+t,\;t,\;2t).
Em coordenadas (x,y,z) isso equivale a
x=s+t,\quad y=t,\quad z=2t \quad\Longrightarrow\quad z=2y,
ou seja, o plano dado pela equação
z=2y.

Resposta

A dimensão é 2. Geometricamente, o espaço gerado é o plano passando pela origem de equação z=2y em \mathbb{R}^{3}.

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