Ex. 3. Resolva a equação de Laplace na faixa 0<x<\pi, y>0\), com: \[\begin{cases}u(0, y)=0, \quad u(\pi, y)=0, & y>0 \\\ u(x, 0)=\sin (x), & 0<x<\pi \\\ \lim _{y \rightarrow \infty} u(x, y)=0, & 0<x<\pi\end{cases}
Determine a solução (u(x, y)].

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0
na faixa 0<x<\pi, y>0, com as condições de contorno
u(0,y)=0,\quad u(\pi,y)=0,\;y>0,
u(x,0)=\sin(x),\;0<x<\pi,
\lim_{y\to\infty}u(x,y)=0,\;0<x<\pi.
O método usado será separação de variáveis e expansão em série de senos.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo em u_{xx}+u_{yy}=0
X''(x)\,Y(y)+X(x)\,Y''(y)=0 \;\Longrightarrow\; \frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Assim obtemos os dois ODEs
X''+\lambda X=0,
Y''-\lambda Y=0.

Passo 3

Das condições X(0)=0 e X(\pi)=0 buscamos valores de \lambda que permitam soluções não-triviais. Isso só ocorre para
\lambda_n=n^2,\quad n=1,2,3,\dots
com funções próprias
X_n(x)=\sin(n x).

Passo 4

Para cada n, a equação em y é
Y_n''-n^2Y_n=0,
cuja solução geral é
Y_n(y)=A_n e^{n y}+B_n e^{-n y}.
Como \lim_{y\to\infty}u(x,y)=0, devemos eliminar o termo e^{n y}. Logo
Y_n(y)=B_n e^{-n y}.

Passo 5

A solução geral satisfazendo as condições em x é
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,\sin(n x)\,e^{-n y}.
Em y=0 temos
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,\sin(n x)=\sin(x).
Comparando séries de senos, concluímos
B_1=1, \quad B_{n}=0\;(n\neq1).

Passo 6

Portanto a solução que satisfaz todas as condições de contorno é
u(x,y)=\sin(x)\,e^{-y}.

Resposta

u(x,y)=\sin(x)\,e^{-y}.

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