Ex. 3. Resolva a equação de Laplace na faixa
Determine a solução (u(x, y)].
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de Laplace
na faixa
,
, com as condições de contorno
O método usado será separação de variáveis e expansão em série de senos.
Passo 2
Assumimos uma solução da forma
Substituindo em
dá
onde
é constante de separação. Assim obtemos os dois ODEs
Passo 3
Das condições
e
buscamos valores de
que permitam soluções não-triviais. Isso só ocorre para
com funções próprias
Passo 4
Para cada
, a equação em
é
cuja solução geral é
Como
, devemos eliminar o termo
. Logo
Passo 5
A solução geral satisfazendo as condições em
é
Em
temos
Comparando séries de senos, concluímos
Passo 6
Portanto a solução que satisfaz todas as condições de contorno é