Ex. 4. Resolva a equação de Laplace no retângulo 0<x<\pi, 0< y<2, com:
\left\{\begin{array}{l} u(0, y)=0, \quad u(\pi, y)=0 \\\ u(x, 0)=\sin (3 x), \quad u(x, 2)=0 \end{array}\right.
Determine a expressão geral da solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0
no retângulo 0<x<\pi, 0<y<2, com condições de contorno
u(0,y)=0,\quad u(\pi,y)=0,\quad u(x,0)=\sin(3x),\quad u(x,2)=0.
O método escolhido é separação de variáveis, expandindo a solução numa série de modos que satisfaçam as condições em x.

Passo 2

Assumimos solução da forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo em u_{xx}+u_{yy}=0 e dividindo por XY obtemos
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0,
logo cada termo é constante negativa, digamos -\lambda^2. Assim surgem os sistemas
X''+\lambda^2X=0, \quad Y''-\lambda^2Y=0.

Passo 3

As condições u(0,y)=0 e u(\pi,y)=0 exigem
X(0)=0,\quad X(\pi)=0.
Esse é o autovalor clássico que dá
\lambda_n=n,\quad n=1,2,3,\dots,
com autofunções
X_n(x)=\sin(nx).

Passo 4

Para cada n a equação em y é
Y_n''-n^2Y_n=0,
cuja solução geral é
Y_n(y)=A_n e^{ny}+B_n e^{-ny}.
Impondo u(x,2)=0 (ou seja Y_n(2)=0) obtém-se
A_n e^{2n}+B_n e^{-2n}=0 \quad\Longrightarrow\quad B_n=-A_n e^{4n}.
Assim
Y_n(y)=A_n\bigl(e^{n y}-e^{4n}e^{-n y}\bigr) =A_n\,e^{2n}\bigl(e^{-n(2-y)}-e^{-n(2+y)}\bigr) =C_n\operatorname{sinh}\!\bigl(n(2-y)\bigr),
onde C_n é constante. Logo a solução geral em série fica
u(x,y) =\sum_{n=1}^{\infty}C_n\,\operatorname{sinh}\!\bigl(n(2-y)\bigr)\,\sin(nx).

Passo 5

Para ajustar u(x,0)=\sin(3x)\) usamos que \[u(x,0) =\sum_{n=1}^{\infty}C_n\,\operatorname{sinh}(2n)\,\sin(nx) \stackrel!=\sin(3x).
Isso significa que a série de Fourier de \sin(3x) em \{\sin(nx)\} tem coeficiente
a_n =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(3x)\sin(nx)\,dx =\begin{cases}1,&n=3,\\\ 0,&n\neq3.\end{cases}
Como a_n = C_n\,\operatorname{sinh}(2n)\], segue \(C_3=1/\operatorname{sinh}(6) e C_n=0 para n\neq3.

Passo 6

Fica portanto
u(x,y) =\frac{\operatorname{sinh}\bigl(3(2-y)\bigr)}{\operatorname{sinh}(6)}\, \sin(3x).

Resposta

u(x,y) =\frac{\operatorname{sinh}\bigl(3(2-y)\bigr)}{\operatorname{sinh}(6)}\,\sin(3x).

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