Ex. 4. Resolva a equação de Laplace no retângulo
, com:
Determine a expressão geral da solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
no retângulo
,
, com condições de contorno
O método escolhido é separação de variáveis, expandindo a solução numa série de modos que satisfaçam as condições em
.
Passo 2
Assumimos solução da forma
Substituindo em
e dividindo por
obtemos
logo cada termo é constante negativa, digamos
. Assim surgem os sistemas
Passo 3
As condições
e
exigem
Esse é o autovalor clássico que dá
com autofunções
Passo 4
Para cada
a equação em
é
cuja solução geral é
Impondo
(ou seja
) obtém-se
Assim
onde
é constante. Logo a solução geral em série fica
Passo 5
Para ajustar
Isso significa que a série de Fourier de
em
tem coeficiente
Como
e
para
.
Passo 6
Fica portanto