(3,0 pontos) Encontre a solução geral da EDP:
\begin{aligned} & \frac{\partial u}{\partial t}=\alpha^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\\ & u(0, t)=0, \quad t>0 \\\ & u(L, t)=0, \quad t>0 \\\ & u(x, 0)=f(x), \quad 0<x<L \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação do calor unidimensional
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
com condições de contorno de Dirichlet homogêneas u(0,t)=0, u(L,t)=0 e condição inicial u(x,0)=f(x).
O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier seno para representar a condição inicial.

Passo 2

Assumimos uma solução separável da forma
u(x,t) = X(x)\,T(t).
Substituindo na EDP, obtemos
X(x)\,T'(t) = \alpha^{2} X''(x)\,T(t),
ou seja
\frac{T'(t)}{\alpha^{2}T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda,
onde \lambda é constante de separação.

Passo 3

Da parte espacial surge o autovalor:
X''(x) + \lambda\,X(x) = 0,\quad X(0)=0,\;X(L)=0.
Para existir solução não trivial, \lambda deve ser \lambda_{n} = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2} e
X_{n}(x) = \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\quad n=1,2,3,\dots

Passo 4

Da parte temporal fica
T'(t) + \alpha^{2}\lambda_{n}\,T(t) = 0,
cuja solução é
T_{n}(t) = \exp\bigl(-\alpha^{2}\lambda_{n}\,t\bigr) = \exp\!\bigl(-\alpha^{2}(n\pi/L)^{2}t\bigr).

Passo 5

Pelo princípio de superposição, a solução geral é a série
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_{n}\,\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\, \exp\!\bigl(-\alpha^{2}(n\pi/L)^{2}t\bigr),
com coeficientes B_{n} determinados pela condição inicial.

Passo 6

Impondo u(x,0)=f(x), temos
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} B_{n}\,\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr).
Como essa é a série de Fourier seno de f em [0,L],
B_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\,\mathrm{d}x.

Resposta

\boxed{ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \biggl[\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(s)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi s}{L}\bigr)\,\mathrm{d}s\biggr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\, \exp\!\bigl(-\alpha^{2}\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\bigr). }

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