(3,0 pontos) Encontre a solução geral da EDP:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação do calor unidimensional
com condições de contorno de Dirichlet homogêneas
,
e condição inicial
.
O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier seno para representar a condição inicial.
O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier seno para representar a condição inicial.
Passo 2
Assumimos uma solução separável da forma
Substituindo na EDP, obtemos
ou seja
onde
é constante de separação.
Passo 3
Da parte espacial surge o autovalor:
Para existir solução não trivial,
deve ser
e
Passo 4
Da parte temporal fica
cuja solução é
Passo 5
Pelo princípio de superposição, a solução geral é a série
com coeficientes
determinados pela condição inicial.
Passo 6
Impondo
, temos
Como essa é a série de Fourier seno de
em
,