Ex. 2. Resolva a equação de Laplace no quadrado 0<x<L, 0<\) \(y<L\), com: \[\begin{cases}u(0, y)=0, & u(L, y)=0 \\\ u(x, 0)=0, & u(x, L)=100\end{cases}
Determine a solução (u(x, y)].

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a equação de Laplace
\nabla^2 u = 0
no quadrado 0<x<L,\;0<y<L\), com condições de contorno de Dirichlet \[\begin{cases} u(0,y)=0, & u(L,y)=0,\\\ u(x,0)=0, & u(x,L)=100. \end{cases}
O método clássico aqui é separação de variáveis e expansão em série de Fourier para ajustar a condição (u(x,L)=100].

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo em \nabla^2 u=0
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = -\lambda.
Isso gera dois ODEs:
X'' + \lambda X = 0, \quad Y'' - \lambda Y = 0.
De u(0,y)=u(L,y)=0 segue X(0)=X(L)=0, logo
\lambda_n = \bigl(\tfrac{n\pi}{L}\bigr)^2, \quad X_n(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr).
Em y temos Y_n'' - (n\pi/L)^2 Y_n=0 e Y_n(0)=0, dando
Y_n(y) = \operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{L}\bigr).

Passo 3

A solução geral é soma de modos:
u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\, \operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi y}{L}\bigr).
Para impor u(x,L)=100 escrevemos
100 = \sum_{n=1}^\infty A_n \,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{n\pi L}{L}\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) = \sum_{n=1}^\infty C_n\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
onde C_n = A_n\,\operatorname{sinh}(n\pi).
Para encontrar C_n fazemos a série de Fourier de 100 em \sin(n\pi x/L):
C_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}100\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx = \frac{2}{L}\cdot\frac{100L\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n\pi} = \frac{200\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n\pi}.
Isso anula C_n para n par e para n=2k+1
C_{2k+1} = \frac{400}{(2k+1)\pi}.
Logo
A_{2k+1} = \frac{C_{2k+1}}{\operatorname{sinh}\bigl((2k+1)\pi\bigr)} = \frac{400}{(2k+1)\pi\,\operatorname{sinh}\bigl((2k+1)\pi\bigr)}.

Passo 4

Concluímos que só aparecem modos ímpares e, definindo n=2k+1, a solução é
u(x,y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{400}{(2k+1)\pi\,\operatorname{sinh}\bigl((2k+1)\pi\bigr)} \;\sin\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{L}\Bigr)\; \operatorname{sinh}\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi y}{L}\Bigr).

Resposta

u(x,y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{400}{(2k+1)\pi\,\operatorname{sinh}\bigl((2k+1)\pi\bigr)} \;\sin\!\Bigl(\frac{(2k+1)\pi x}{L}\Bigr)\; \operatorname{sinh}\!\Bigl(\frac{(2k+1)\pi y}{L}\Bigr).

Exercícios relacionados