Ex. 2. Resolva a equação de Laplace no quadrado
Determine a solução (u(x, y)].
Passo 1
O enunciado nos pede para resolver a equação de Laplace
no quadrado
O método clássico aqui é separação de variáveis e expansão em série de Fourier para ajustar a condição (u(x,L)=100].
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo em
dá
Isso gera dois ODEs:
De
segue
, logo
Em
temos
e
, dando
Passo 3
A solução geral é soma de modos:
Para impor
escrevemos
onde
.
Para encontrar
fazemos a série de Fourier de
em
:
Isso anula
para
par e para
dá
Logo
Passo 4
Concluímos que só aparecem modos ímpares e, definindo
, a solução é