Resolva os problemas de valor inicial:
ly^prime+(1-2 x) y=x e^-x y(0)=3

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + (1 - 2x),y = x e^-x,
com condição inicial y(0)=3. Para resolver, a gente vai usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevendo P(x)=1-2x e Q(x)=x e^-x, o fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(x - x^2r)

Passo 3

Multiplicando toda a equação por mu(x), o lado esquerdo vira a derivada de y,mu(x) e o direito fica
x e^-x,exp(x - x^2)=x e^-x^2
Assim temos
ddxl(y,mu(x)r)=x e^-x^2
Integrando em x,
y,mu(x) =integral x e^-x^2,dx =-tfrac12 e^-x^2+C

Passo 4

Despejando y,
y =-tfrac12 e^-x^2+Cmu(x) =-tfrac12 e^-x+C,e^-x+x^2
Impondo y(0)=3
-tfrac12 + C = 3 Longrightarrow C = tfrac72

Passo 5

Substituindo C=tfrac72 na solução geral, a resposta final é
y(x)=-tfrac12 e^-x+tfrac72,e^-x + x^2

Resposta

y(x)=-tfrac12 e^-x+tfrac72,e^-x + x^2

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