Ex. 8. Simplifique:
x^3+m x^2+m x+m^2x^2+2 m x+m^2-x^3-m^3x^2-m^2;

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos simplificar a expressão
x^3+m x^2+m x+m^2x^2+2 m x+m^2 - x^3-m^3x^2-m^2
Conteúdo: fatoração de polinômios (agrupamento, diferença de cubos, quadrado perfeito e diferença de quadrados) e simplificação de frações.

Passo 2

Fatoramos o numerador da primeira fração por agrupamento:
x^3+m x^2+m x+m^2 = (x^3+m x^2)+(m x+m^2) = x^2(x+m)+m(x+m) = (x^2+m)(x+m)

Passo 3

Fatoramos o numerador da segunda fração como diferença de cubos:
x^3-m^3 = (x-m)(x^2+m x+m^2)

Passo 4

Fatoramos também os denominadores:
x^2+2m x+m^2=(x+m)^2, x^2-m^2=(x-m)(x+m)
Assim as frações viram
(x^2+m)(x+m)(x+m)^2 = x^2+mx+m, (x-m)(x^2+m x+m^2)(x-m)(x+m) = x^2+m x+m^2x+m

Passo 5

Com denominador comum x+m subtraímos os numeradores:
x^2+mx+m - x^2+m x+m^2x+m = (x^2+m)-(x^2+m x+m^2)x+m
No numerador temos
(x^2+m)-(x^2+m x+m^2) =-m x +m -m^2 =m(1 - x - m)

Resposta

m(1 - x - m)x+m

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