Ex.2.Monte a tabela multiplicativa de \mathbb{Z}_{6} .Ache a ordem de cada um dos elementos de \mathbb{Z}_{6} .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Montar a tabela multiplicativa de \mathbb{Z}_{6}.
Achar a ordem de cada um dos elementos de \mathbb{Z}_{6}.
Informações dadas (que vamos usar):
\mathbb{Z}_{6} é o conjunto das classes de congruência módulo 6: \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}\}.
A multiplicação em \mathbb{Z}_{6} é definida por \overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab} (produto usual reduzido módulo 6).
Preciso determinar a ordem de cada elemento (a interpretação principal que vou usar: ordem no grupo aditivo de \mathbb{Z}_{6}, ou seja, o menor n\ge1 tal que n vezes o elemento dá \overline{0}. Vou também comentar sobre ordens multiplicativas quando fizer sentido).
Passo 2
Breve aula sobre multiplicação em \mathbb{Z}_{6} (como montar a tabela).
Regra: para quaisquer representantes a,b\in\{0,1,2,3,4,5\},
\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab},
onde \overline{ab} significa o resto da divisão de ab por 6.
Exemplo ilustrativo: \overline{4}\cdot\overline{5}=\overline{20}=\overline{2} porque 20=3\cdot6+2.
Para montar a tabela, faço as multiplicações a\cdot b para a,b=0,\dots,5 e reduzo cada resultado módulo 6.
Passo 3
Linha correspondente a \overline{0}.
Para qualquer \overline{b} vale \overline{0}\cdot\overline{b}=\overline{0}, pois 0\cdot b=0.
Resultado da linha \overline{0}: \overline{0},\overline{0},\overline{0},\overline{0},\overline{0},\overline{0}.
Passo 4
Linha correspondente a \overline{1}.
\overline{1}\cdot\overline{b}=\overline{b} para todo \overline{b}.
Resultado da linha \overline{1}: \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}.
Passo 5
Linha correspondente a \overline{2}. Calculemos produto a produto e reduzamos módulo 6:
Resultado da linha \overline{5}: \overline{0},\overline{5},\overline{4},\overline{3},\overline{2},\overline{1}.
Passo 9
Agora consolidamos a tabela multiplicativa completa (colunas e linhas na ordem \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}). A tabela é:
Explicação rápida da fórmula: procurar n tal que n\cdot k\equiv0\pmod{n} equivale a pedir que n (o número de somas) satisfaça n\cdot k múltiplo de 6; o menor n que faz isso é 6/\gcd(k,6).
Passo 11
Aplicando a fórmula para cada elemento de \mathbb{Z}_{6} (aqui n=6):
Para \overline{0}: \gcd(0,6)=6, então \operatorname{ord}(\overline{0})=\dfrac{6}{6}=1.
Para \overline{1}: \gcd(1,6)=1, então \operatorname{ord}(\overline{1})=\dfrac{6}{1}=6.
Para \overline{2}: \gcd(2,6)=2, então \operatorname{ord}(\overline{2})=\dfrac{6}{2}=3.
Para \overline{3}: \gcd(3,6)=3, então \operatorname{ord}(\overline{3})=\dfrac{6}{3}=2.
Para \overline{4}: \gcd(4,6)=2, então \operatorname{ord}(\overline{4})=\dfrac{6}{2}=3.
Para \overline{5}: \gcd(5,6)=1, então \operatorname{ord}(\overline{5})=\dfrac{6}{1}=6.
Passo 12
Comentário extra sobre ordem multiplicativa (opcional, para clarear confusões que aparecem na prova):
A ordem multiplicativa (isto é, o menor m\ge1 com \overline{a}^{\,m}=\overline{1}) só faz sentido na estrutura multiplicativa quando o elemento é unidade (tem inverso). Em \mathbb{Z}_{6} as unidades são \overline{1} e \overline{5}.
Multiplicativamente: \overline{1} tem ordem 1 e \overline{5} tem ordem 2 porque \overline{5}^{2}=\overline{25}=\overline{1}. Os outros elementos (\overline{0},\overline{2},\overline{3},\overline{4}) não têm ordem multiplicativa porque nenhuma potência positiva deles é \overline{1}.