Ex.2.Monte a tabela multiplicativa de \mathbb{Z}_{6} .Ache a ordem de cada um dos elementos de \mathbb{Z}_{6}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Montar a tabela multiplicativa de \mathbb{Z}_{6}.
  • Achar a ordem de cada um dos elementos de \mathbb{Z}_{6}.
Informações dadas (que vamos usar):
  • \mathbb{Z}_{6} é o conjunto das classes de congruência módulo 6: \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}\}.
  • A multiplicação em \mathbb{Z}_{6} é definida por \overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab} (produto usual reduzido módulo 6).
  • Preciso determinar a ordem de cada elemento (a interpretação principal que vou usar: ordem no grupo aditivo de \mathbb{Z}_{6}, ou seja, o menor n\ge1 tal que n vezes o elemento dá \overline{0}. Vou também comentar sobre ordens multiplicativas quando fizer sentido).

Passo 2

Breve aula sobre multiplicação em \mathbb{Z}_{6} (como montar a tabela).
  • Regra: para quaisquer representantes a,b\in\{0,1,2,3,4,5\},
\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab},
onde \overline{ab} significa o resto da divisão de ab por 6.
  • Exemplo ilustrativo: \overline{4}\cdot\overline{5}=\overline{20}=\overline{2} porque 20=3\cdot6+2.
  • Para montar a tabela, faço as multiplicações a\cdot b para a,b=0,\dots,5 e reduzo cada resultado módulo 6.

Passo 3

Linha correspondente a \overline{0}.
  • Para qualquer \overline{b} vale \overline{0}\cdot\overline{b}=\overline{0}, pois 0\cdot b=0.
  • Resultado da linha \overline{0}: \overline{0},\overline{0},\overline{0},\overline{0},\overline{0},\overline{0}.

Passo 4

Linha correspondente a \overline{1}.
  • \overline{1}\cdot\overline{b}=\overline{b} para todo \overline{b}.
  • Resultado da linha \overline{1}: \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}.

Passo 5

Linha correspondente a \overline{2}. Calculemos produto a produto e reduzamos módulo 6:
  • \overline{2}\cdot\overline{0}=\overline{0}.
  • \overline{2}\cdot\overline{1}=\overline{2}.
  • \overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{4}.
  • \overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{6}=\overline{0}.
  • \overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{8}=\overline{2} porque 8=1\cdot6+2.
  • \overline{2}\cdot\overline{5}=\overline{10}=\overline{4} porque 10=1\cdot6+4.
  • Resultado da linha \overline{2}: \overline{0},\overline{2},\overline{4},\overline{0},\overline{2},\overline{4}.

Passo 6

Linha correspondente a \overline{3}. Produtos:
  • \overline{3}\cdot\overline{0}=\overline{0}.
  • \overline{3}\cdot\overline{1}=\overline{3}.
  • \overline{3}\cdot\overline{2}=\overline{6}=\overline{0}.
  • \overline{3}\cdot\overline{3}=\overline{9}=\overline{3} porque 9=1\cdot6+3.
  • \overline{3}\cdot\overline{4}=\overline{12}=\overline{0}.
  • \overline{3}\cdot\overline{5}=\overline{15}=\overline{3}.
  • Resultado da linha \overline{3}: \overline{0},\overline{3},\overline{0},\overline{3},\overline{0},\overline{3}.

Passo 7

Linha correspondente a \overline{4}. Observe que \overline{4}=\overline{-2}, então os padrões lembram os de \overline{2} mas espelhados:
  • \overline{4}\cdot\overline{0}=\overline{0}.
  • \overline{4}\cdot\overline{1}=\overline{4}.
  • \overline{4}\cdot\overline{2}=\overline{8}=\overline{2}.
  • \overline{4}\cdot\overline{3}=\overline{12}=\overline{0}.
  • \overline{4}\cdot\overline{4}=\overline{16}=\overline{4} porque 16=2\cdot6+4.
  • \overline{4}\cdot\overline{5}=\overline{20}=\overline{2}.
  • Resultado da linha \overline{4}: \overline{0},\overline{4},\overline{2},\overline{0},\overline{4},\overline{2}.

Passo 8

Linha correspondente a \overline{5}. Note que \overline{5}=\overline{-1}, então \overline{5}\cdot\overline{b}=\overline{-b}:
  • \overline{5}\cdot\overline{0}=\overline{0}.
  • \overline{5}\cdot\overline{1}=\overline{5}.
  • \overline{5}\cdot\overline{2}=\overline{10}=\overline{4}.
  • \overline{5}\cdot\overline{3}=\overline{15}=\overline{3}.
  • \overline{5}\cdot\overline{4}=\overline{20}=\overline{2}.
  • \overline{5}\cdot\overline{5}=\overline{25}=\overline{1}.
  • Resultado da linha \overline{5}: \overline{0},\overline{5},\overline{4},\overline{3},\overline{2},\overline{1}.

Passo 9

Agora consolidamos a tabela multiplicativa completa (colunas e linhas na ordem \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}). A tabela é:
\begin{array}{c|cccccc} \cdot & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{5} \\\ \hline \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} \\\ \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{5} \\\ \overline{2} & \overline{0} & \overline{2} & \overline{4} & \overline{0} & \overline{2} & \overline{4} \\\ \overline{3} & \overline{0} & \overline{3} & \overline{0} & \overline{3} & \overline{0} & \overline{3} \\\ \overline{4} & \overline{0} & \overline{4} & \overline{2} & \overline{0} & \overline{4} & \overline{2} \\\ \overline{5} & \overline{0} & \overline{5} & \overline{4} & \overline{3} & \overline{2} & \overline{1} \end{array}

Passo 10

Agora a parte sobre ordens (aula e cálculo).
  • Definição (ordem aditiva): a ordem de um elemento \overline{a} em \mathbb{Z}_{6} (considerando o grupo aditivo) é o menor inteiro n\ge1 tal que
\underbrace{\overline{a}+\overline{a}+\cdots+\overline{a}}_{n\\ \text{vezes}}=\overline{0}.
  • Teorema útil (fórmula): para \mathbb{Z}_{n} vale
\operatorname{ord}(\overline{k})=\frac{n}{\gcd(k,n)}.
Explicação rápida da fórmula: procurar n tal que n\cdot k\equiv0\pmod{n} equivale a pedir que n (o número de somas) satisfaça n\cdot k múltiplo de 6; o menor n que faz isso é 6/\gcd(k,6).

Passo 11

Aplicando a fórmula para cada elemento de \mathbb{Z}_{6} (aqui n=6):
  • Para \overline{0}: \gcd(0,6)=6, então \operatorname{ord}(\overline{0})=\dfrac{6}{6}=1.
  • Para \overline{1}: \gcd(1,6)=1, então \operatorname{ord}(\overline{1})=\dfrac{6}{1}=6.
  • Para \overline{2}: \gcd(2,6)=2, então \operatorname{ord}(\overline{2})=\dfrac{6}{2}=3.
  • Para \overline{3}: \gcd(3,6)=3, então \operatorname{ord}(\overline{3})=\dfrac{6}{3}=2.
  • Para \overline{4}: \gcd(4,6)=2, então \operatorname{ord}(\overline{4})=\dfrac{6}{2}=3.
  • Para \overline{5}: \gcd(5,6)=1, então \operatorname{ord}(\overline{5})=\dfrac{6}{1}=6.

Passo 12

Comentário extra sobre ordem multiplicativa (opcional, para clarear confusões que aparecem na prova):
  • A ordem multiplicativa (isto é, o menor m\ge1 com \overline{a}^{\,m}=\overline{1}) só faz sentido na estrutura multiplicativa quando o elemento é unidade (tem inverso). Em \mathbb{Z}_{6} as unidades são \overline{1} e \overline{5}.
  • Multiplicativamente: \overline{1} tem ordem 1 e \overline{5} tem ordem 2 porque \overline{5}^{2}=\overline{25}=\overline{1}. Os outros elementos ( \overline{0},\overline{2},\overline{3},\overline{4}) não têm ordem multiplicativa porque nenhuma potência positiva deles é \overline{1}.

Resposta

\begin{array}{c|cccccc} \cdot & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{5} \\\ \hline \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} \\\ \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{5} \\\ \overline{2} & \overline{0} & \overline{2} & \overline{4} & \overline{0} & \overline{2} & \overline{4} \\\ \overline{3} & \overline{0} & \overline{3} & \overline{0} & \overline{3} & \overline{0} & \overline{3} \\\ \overline{4} & \overline{0} & \overline{4} & \overline{2} & \overline{0} & \overline{4} & \overline{2} \\\ \overline{5} & \overline{0} & \overline{5} & \overline{4} & \overline{3} & \overline{2} & \overline{1} \end{array}
\operatorname{ord}(\overline{0})=1,\quad \operatorname{ord}(\overline{1})=6,\quad \operatorname{ord}(\overline{2})=3,\quad \operatorname{ord}(\overline{3})=2,\quad \operatorname{ord}(\overline{4})=3,\quad \operatorname{ord}(\overline{5})=6

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