Ex.4.Pode 4 ser o menor elemento de algum subgrupo de \mathbb{Z}_{30}

Passo 1

O enunciado pergunta se o número 4 pode ser o menor elemento (isto é, o menor representante positivo) de algum subgrupo de \mathbb{Z}_{30}. As informações que temos explicitamente:
  • O grupo em questão é \mathbb{Z}_{30}, o grupo aditivo dos inteiros módulo 30, cujos elementos podem ser representados por \{0,1,2,\dots,29\}.
  • A pergunta é: existe algum subgrupo H \leq \mathbb{Z}_{30} tal que o menor elemento positivo de H seja 4?

Passo 2

Vamos entender o que significa “menor elemento positivo de um subgrupo” em \mathbb{Z}_{30}. Se H é um subgrupo de \mathbb{Z}_{30}, e m é o menor inteiro positivo que representa um elemento de H, então todo elemento de H é congruente a algum múltiplo de m módulo 30. Em particular, m é o gerador (o menor gerador positivo) do subgrupo visto como conjunto de múltiplos de m em \{0,\dots,29\}.

Passo 3

Agora uma propriedade fundamental (que vou provar passo a passo): se H é um subgrupo não trivial de \mathbb{Z}_{30} e m é o menor elemento positivo de H, então m divide 30. Vou provar isso usando o algoritmo da divisão.

Passo 4

Prova: suponha H\leq\mathbb{Z}_{30} e seja m o menor elemento positivo em H. Considerando o elemento 30 no contexto de \mathbb{Z} (lembrando que 30\equiv 0 em \mathbb{Z}_{30}), aplique o algoritmo da divisão a 30 por m. Existem inteiros q e r tais que
30 = q m + r,\qquad 0 \le r < m.
Reescrevendo em \mathbb{Z}_{30},
r \equiv 30 - qm \equiv 0 - q\cdot m \equiv -q\cdot m \pmod{30}.
Como m\in H e H é subgrupo (logo fechado por multiplicação por inteiros e soma), segue que -q\cdot m\in H. Logo r representa um elemento de H.

Passo 5

Pelo minimalismo de m (é o menor elemento positivo de H), o resto r não pode ser um inteiro positivo menor que m, a menos que r=0. Mas o algoritmo dá 0 \le r < m. Portanto devemos ter r=0. Isso implica que m divide 30.

Passo 6

Aplicando essa conclusão ao caso concreto: se 4 fosse o menor elemento positivo de algum subgrupo H\leq\mathbb{Z}_{30}, então deveríamos ter 4\mid 30. Mas 30 = 7\cdot 4 + 2, ou seja, 30 não é múltiplo de 4; explicitamente 4\nmid 30. Pelo passo anterior, isso é impossível.

Passo 7

Exemplo ilustrativo (para fixar a ideia): em \mathbb{Z}_{12} os subgrupos têm menores elementos positivos que são divisores de 12, por exemplo o subgrupo \{0,4,8\} tem menor elemento 4 porque 4\mid 12. Em \mathbb{Z}_{30} só os divisores de 30 podem aparecer como menores elementos positivos (isto é, podem gerar subgrupos): 1,2,3,5,6,10,15,30. O 4 não está nessa lista.

Resposta

Não. 4\nmid 30, logo não pode ser o menor elemento de nenhum subgrupo de \mathbb{Z}_{30}.

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