Ex.4.Pode 4 ser o menor elemento de algum subgrupo de
?
Passo 1
O enunciado pergunta se o número 4 pode ser o menor elemento (isto é, o menor representante positivo) de algum subgrupo de
. As informações que temos explicitamente:
- O grupo em questão é
, o grupo aditivo dos inteiros módulo , cujos elementos podem ser representados por . - A pergunta é: existe algum subgrupo
tal que o menor elemento positivo de seja ?
Passo 2
Vamos entender o que significa “menor elemento positivo de um subgrupo” em
. Se
é um subgrupo de
, e
é o menor inteiro positivo que representa um elemento de
, então todo elemento de
é congruente a algum múltiplo de
módulo
. Em particular,
é o gerador (o menor gerador positivo) do subgrupo visto como conjunto de múltiplos de
em
.
Passo 3
Agora uma propriedade fundamental (que vou provar passo a passo): se
é um subgrupo não trivial de
e
é o menor elemento positivo de
, então
divide
. Vou provar isso usando o algoritmo da divisão.
Passo 4
Prova: suponha
e seja
o menor elemento positivo em
. Considerando o elemento
no contexto de
(lembrando que
em
), aplique o algoritmo da divisão a
por
. Existem inteiros
e
tais que
Reescrevendo em
,
Como
e
é subgrupo (logo fechado por multiplicação por inteiros e soma), segue que
. Logo
representa um elemento de
.
Passo 5
Pelo minimalismo de
(é o menor elemento positivo de
), o resto
não pode ser um inteiro positivo menor que
, a menos que
. Mas o algoritmo dá
. Portanto devemos ter
. Isso implica que
divide
.
Passo 6
Aplicando essa conclusão ao caso concreto: se
fosse o menor elemento positivo de algum subgrupo
, então deveríamos ter
. Mas
, ou seja,
não é múltiplo de
; explicitamente
. Pelo passo anterior, isso é impossível.
Passo 7
Exemplo ilustrativo (para fixar a ideia): em
os subgrupos têm menores elementos positivos que são divisores de
, por exemplo o subgrupo
tem menor elemento
porque
. Em
só os divisores de
podem aparecer como menores elementos positivos (isto é, podem gerar subgrupos):
. O
não está nessa lista.
Resposta
Não.
, logo não pode ser o menor elemento de nenhum subgrupo de
.