Ex3 Derive
f(x)=e^x^raiz[3]x raizx / 4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = e^,x^raiz[3]x;raiztfracx4,
O conteúdo principal aqui envolve a regra da cadeia para a exponencial, a regra do produto e a derivação de uma potência de base e expoente variáveis. Em particular, se definirmos
u(x)=x^raiz[3]x;raiztfracx4,
teremos
f'(x)=e^u(x);u'(x)

Passo 2

Vamos decompor u(x) em
v(x)=x^raiz[3]x e w(x)=raiztfracx4=raizx2
Então
u(x)=v(x),w(x),
e pela regra do produto
u'(x)=v'(x),w(x)+v(x),w'(x)

Passo 3

Para v(x)=x^raiz[3]x usamos log-diferenciação. Seja
ln v(x)=raiz[3]x,ln x
Derivando ambos os lados,
v'(x)v(x) =ddxl(x^1/3r)ln x +raiz[3]x,ddx(ln x) =13x^-2/3,ln x+x^1/3x
Logo
v'(x) =v(x)l(tfrac13x^-2/3ln x + x^-2/3r) =x^raiz[3]x;x^-2/3l(tfrac13ln x+1r)

Passo 4

Para w(x)=tfracraizx2= tfrac12,x^1/2,
w'(x)=tfrac12cdottfrac12,x^-1/2 =x^-1/24

Passo 5

Agora juntamos:
u'(x) =v'(x),w(x)+v(x),w'(x) =x^raiz[3]x,x^-2/3l(tfrac13ln x+1r),raizx2 + x^raiz[3]x,x^-1/24
Podemos escrever
u'(x) =x^raiz[3]xl[ x^-2/3,x^1/22l(tfrac13ln x+1r) +x^-1/24 r]
Observando que x^-2/3x^1/2=x^-1/6, temos
u'(x) =x^raiz[3]xl[ x^-1/62l(tfrac13ln x+1r) +x^-1/24 r]

Passo 6

Finalmente, aplicando a regra da cadeia à exponencial,
f'(x) =e^u(x),u'(x) =e^,x^raiz[3]xraiztfracx4 ;x^raiz[3]x!l[ x^-1/62l(tfrac13ln x+1r) +x^-1/24 r]

Resposta

f'(x) =e^,x^raiz[3]xraiztfracx4 ;x^raiz[3]xl[ x^-1/62l(tfrac13ln x+1r) +x^-1/24 r]

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