Ex6. Quarenta baterias para automóveis de certa marca foram testadas quanto à sua vida útil. O teste simula a utilização da bateria, acelerando seu desgaste de modo a criar uma réplica da situação real. Os resultados da durabilidade (em meses) são apresentados na tabela de frequência a seguir:
Durabilidade (em meses) fr
0 \vdash 3 0,02
3 \vdash 6 0,05
6 \vdash 9 0,15
9 \vdash 12 0,25
12 \vdash 15 0,30
15 \vdash 18 0,23
Total 1
a) Complete a tabela, calculando a frequência absoluta, a frequência percentual e percentual acumulada.
b) Se a amostra acima for considerada representativa do desempenho dessa marca de bateria, quantas, em 1000 baterias fabricadas, serão repostas pelo fabricante se ele oferece 6 meses de garantia?
c) Determine a média, a mediana, o Q1 e um valor aproximado para a moda.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=40 baterias, com durabilidade em meses agrupada em 6 classes de largura h=3 meses. Foi fornecida a frequência relativa f_r de cada classe. Vamos (a) completar a tabela com frequência absoluta f, frequência percentual e frequência percentual acumulada; (b) calcular quantas baterias (em 1000) duram até 6 meses; (c) obter média, mediana, Q_1 e moda aproximada.

Passo 2

Para cada classe calculamos primeiro a frequência absoluta
f = n \times f_r
e depois convertemos em frequência percentual 100\,f_r\%. Em seguida montamos a frequência acumulada em %.
  • Classe [0,3):
    \displaystyle f=40\cdot0,02=0,8\approx1,
    \%= 0,02\cdot100=2\%,
    acumulada =2\%.
  • Classe [3,6):
    \displaystyle f=40\cdot0,05=2,
    \%= 5\%,
    acumulada =2\%+5\%=7\%.
  • Classe [6,9):
    \displaystyle f=40\cdot0,15=6,
    \%= 15\%,
    acumulada =7\%+15\%=22\%.
  • Classe [9,12):
    \displaystyle f=40\cdot0,25=10,
    \%= 25\%,
    acumulada =22\%+25\%=47\%.
  • Classe [12,15):
    \displaystyle f=40\cdot0,30=12,
    \%= 30\%,
    acumulada =47\%+30\%=77\%.
  • Classe [15,18):
    \displaystyle f=40\cdot0,23=9,2\approx9,
    \%= 23\%,
    acumulada =77\%+23\%=100\%.

Passo 3

Para garantia de 6 meses, contam-se as baterias com vida até 6 meses, i.e.\ classes [0,3) e [3,6), cuja soma de f_r é
0,02 + 0,05 = 0,07 = 7\%.
Em 1000 baterias isso dá
0,07 \times 1000 = 70.

Passo 4

Média aproximada para dados agrupados:
\bar x = \sum (x_i \cdot f_r),
onde x_i é o ponto médio de cada classe. Os pontos médios são 1{,}5, 4{,}5, 7{,}5, 10{,}5, 13{,}5, 16{,}5. Logo
\bar x = 1{,}5\cdot0{,}02 + 4{,}5\cdot0{,}05 + 7{,}5\cdot0{,}15 + 10{,}5\cdot0{,}25 + 13{,}5\cdot0{,}30 + 16{,}5\cdot0{,}23 \approx 11{,}85\text{ meses.}

Passo 5

Mediana por interpolação: a mediana é o valor que acumula 50\%. A classe modal para 50\% é [12,15), pois a frequência acumulada antes desta classe é 47\% e depois é 77\%. Aplicamos
\text{Mediana} = L + \frac{0{,}50 - F_{\mathrm{acum\,anterior}}}{f_r(\text{classe})}\,h
com L=12, F_{\mathrm{acum\,anterior}}=0{,}47, f_r=0{,}30, h=3:
\text{Mediana} = 12 + \frac{0{,}50 - 0{,}47}{0{,}30}\times3 \approx 12 + 0{,}10 \approx 12{,}30\text{ meses.}

Passo 6

Primeiro quartil Q_1 (25%) fica na classe [9,12), onde F_{\mathrm{acum\,anterior}}=0{,}22, f_r=0{,}25, h=3, L=9:
Q_1 = 9 + \frac{0{,}25 - 0{,}22}{0{,}25}\times3 \approx 9 + 0{,}36 = 9{,}36\text{ meses.}

Passo 7

Moda aproximada usando fórmula para dados agrupados: a moda está na classe de maior f_r, que é [12,15) com f_1=0{,}30. As frequências das classes anterior e posterior são f_0=0{,}25 e f_2=0{,}23. Então
\text{Moda} = L + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\,h =12 + \frac{0{,}30 - 0{,}25}{2\cdot0{,}30 - 0{,}25 - 0{,}23}\times3 \approx12 + 1{,}25 = 13{,}25\text{ meses.}

Resposta

a) Tabela completa:
Intervalo [0,3): f=1, 2\%, acum. =2\%
Intervalo [3,6): f=2, 5\%, acum. =7\%
Intervalo [6,9): f=6, 15\%, acum. =22\%
Intervalo [9,12): f=10, 25\%, acum. =47\%
Intervalo [12,15): f=12, 30\%, acum. =77\%
Intervalo [15,18): f=9, 23\%, acum. =100\%
b) 70 baterias em 1000 serão substituídas.
c) \bar x \approx 11{,}85 meses; Mediana \approx 12{,}30 meses; Q_1 \approx 9{,}36 meses; Moda \approx 13{,}25 meses.

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