Em um exame de estatística, a média foi de 50 e a variância 169. Considerando que 100 alunos prestaram o exame, e as notas obtidas seguem a distribuição normal, quantos alunos tiraram nota:
a) maior que 80 ?
b) entre 30 e 60 ?
c) menor que 60 ?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que em um exame de estatística a média (μ) das notas foi 50 e a variância (σ²) foi 169. Temos 100 alunos e as notas seguem uma distribuição normal. A matéria aqui é Distribuição Normal e o que precisamos:
  • Calcular o desvio-padrão (σ) a partir da variância.
  • Padronizar (fazer o Z) para transformar qualquer nota X em Z = (X–μ)/σ.
  • Usar a tabela da normal padrão (função Φ) para achar probabilidades.
  • Multiplicar a probabilidade por 100 alunos pra ter a quantidade esperada.

Passo 2

Primeiro, calcula o desvio-padrão:
sigma = raiz169 = 13
A padronização é feita assim:
Z = X - musigma = X - 5013
Com isso, qualquer probabilidade de X vira probabilidade de Z, e a gente usa a tabela de Φ(Z).

Passo 3

Queremos P(X > 80).
  1. Calcula Z para X=80: Z = 80 - 5013 = 3013 approx 2,3077
    2) Na tabela da normal padrão, Φ(2{,}3077) ≈ 0{,}9896 é P(Z ≤ 2{,}3077).
    3) Então P(Z > 2{,}3077) = 1 − 0{,}9896 = 0{,}0104.
    4) Esperamos 0,0104·100 ≈ 1,04 alunos, ou seja, cerca de 1 aluno tirou mais que 80.

Passo 4

Queremos P(30 < X < 60).
  1. Z₁ pra X=30: Z1 = 30 - 5013 = -2013 approx -1,5385
    Φ(−1,5385) = 1 − Φ(1,5385) ≈ 1 − 0,9370 = 0,0630.
    2) Z₂ pra X=60:
    Z2 = 60 - 5013 = 1013 approx 0,7692Φ(0,7692) ≈ 0,7794.
  2. P(30 < X < 60) = Φ(0,7692) − Φ(−1,5385) ≈ 0,7794 − 0,0630 = 0,7164.
  3. 0,7164·100 ≈ 71,64 alunos, ou seja, cerca de 72 alunos.

Passo 5

Queremos P(X < 60).
Já temos Z₂ ≈ 0,7692 e Φ(0,7692) ≈ 0,7794.
Então P(X < 60) = 0,7794.
Multiplicando por 100 dá 77,94 alunos, ou seja, cerca de 78 alunos.

Resposta

a) ~1 aluno
b) ~72 alunos
c) ~78 alunos

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