Questão: Um sistema massa-mola é descrito pela equação 6 u^{\prime \prime}+7 u^{\prime}+2 u=0. No instante inicial tem-se u(0)=-1 e u^{\prime}(0)=-1.
Determine a maior distância da posição de equilíbrio que a massa atinge, para tempos positivos.
Descreva o movimento da massa para tempos positivos.

Passo 1

O enunciado dá a equação de um sistema massa-mola amortecido:
6\,u''(t)+7\,u'(t)+2\,u(t)=0
com condições iniciais
u(0)=-1,\quad u'(0)=-1.
O objetivo é achar a maior distância (em valor absoluto) que u(t) atinge para t>0 e descrever qualitativamente o movimento.
Conteúdo: equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, caso superamortecido (raízes reais distintas negativas).

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
6r^2+7r+2=0.
O discriminante é \Delta=7^2-4\cdot6\cdot2=49-48=1, daí as raízes são
r_{1}=\frac{-7+1}{12}=-\tfrac12,\qquad r_{2}=\frac{-7-1}{12}=-\tfrac23.

Passo 3

A solução geral é combinação de decaimentos exponenciais:
u(t)=A\,e^{-t/2}+B\,e^{-2t/3}.
Usando u(0)=A+B=-1\) e \[u'(t)=-\tfrac12A\,e^{-t/2}-\tfrac23B\,e^{-2t/3},
de u'(0)=-\tfrac12A-\tfrac23B=-1 obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=-1,\\\\ -\tfrac12A-\tfrac23B=-1. \end{cases}
Resolvendo, vem A=-10\] e \(B=9. Logo
u(t)=-10\,e^{-t/2}+9\,e^{-2t/3}.

Passo 4

Para achar extremos de u(t) em t>0, impomos u'(t)=0:
u'(t)=5\,e^{-t/2}-6\,e^{-2t/3}=0 \quad\Longrightarrow\quad 5=6\,e^{-t/6} \quad\Longrightarrow\quad t=6\ln\!\bigl(\tfrac65\bigr).

Passo 5

Calculamos o valor em t^*=6\ln(6/5):
u(t^*)=-10\,e^{-3\ln(6/5)}+9\,e^{-4\ln(6/5)} =-10\Bigl(\tfrac56\Bigr)^{3}+9\Bigl(\tfrac56\Bigr)^{4} =-\frac{1875}{1296}\approx-1{,}447.
Como u(t) é sempre negativo e tende a zero, o máximo de \lvert u(t)\rvert ocorre em t^* e vale \tfrac{1875}{1296}.

Passo 6

Descrição do movimento:
– Superamortecido (raízes reais negativas), sem oscilações.
– Começa em u(0)=-1 com velocidade negativa, afasta-se da posição de equilíbrio até u\approx-1{,}447 em t=6\ln(6/5).
– A seguir inverte o sentido (velocidade passa a ser positiva) e retorna monotonicamente ao equilíbrio u=0 quando t\to\infty.

Resposta

A maior distância da posição de equilíbrio é
\max_{t>0}\lvert u(t)\rvert=\frac{1875}{1296}\approx1{,}447,
atingida em t=6\ln(6/5). O movimento é superamortecido, sem oscilações: a massa afasta-se inicialmente até este ponto de máximo em módulo e depois retorna monotonicamente ao equilíbrio.

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