Questão: Um sistema massa-mola é descrito pela equação 6 u^{\prime \prime}+7 u^{\prime}+2 u=0. No instante inicial tem-se u(0)=-1 e u^{\prime}(0)=-1.
Determine a maior distância da posição de equilíbrio que a massa atinge, para tempos positivos.
Descreva o movimento da massa para tempos positivos.
Passo 1
O enunciado dá a equação de um sistema massa-mola amortecido:
6\,u''(t)+7\,u'(t)+2\,u(t)=0
com condições iniciais
u(0)=-1,\quad u'(0)=-1.
O objetivo é achar a maior distância (em valor absoluto) que u(t) atinge para t>0 e descrever qualitativamente o movimento.
Conteúdo: equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, caso superamortecido (raízes reais distintas negativas).
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
6r^2+7r+2=0.
O discriminante é \Delta=7^2-4\cdot6\cdot2=49-48=1, daí as raízes são
Como u(t) é sempre negativo e tende a zero, o máximo de \lvert u(t)\rvert ocorre em t^* e vale \tfrac{1875}{1296}.
Passo 6
Descrição do movimento:
– Superamortecido (raízes reais negativas), sem oscilações.
– Começa em u(0)=-1 com velocidade negativa, afasta-se da posição de equilíbrio até u\approx-1{,}447 em t=6\ln(6/5).
– A seguir inverte o sentido (velocidade passa a ser positiva) e retorna monotonicamente ao equilíbrio u=0 quando t\to\infty.
atingida em t=6\ln(6/5). O movimento é superamortecido, sem oscilações: a massa afasta-se inicialmente até este ponto de máximo em módulo e depois retorna monotonicamente ao equilíbrio.